Sabendo que \lim _{x \rightarrow 0} \frac{a^{x}-1}{x}=\ln a, calcule \lim _{\mathrm{x} \rightarrow 0} \frac{e^{a x}-e^{b x}}{x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x \to 0} \frac{e^{a x}-e^{b x}}{x}
sabendo que
\lim_{x \to 0} \frac{c^x-1}{x} = \ln c.
O conteúdo envolvido é limite de funções exponenciais e, na prática, usamos a derivada em zero dessas exponenciais.

Passo 2

Reescrevemos cada exponencial como potência de base fixa:
e^{a x} = (e^a)^x
e
e^{b x} = (e^b)^x.

Passo 3

Substituindo no quociente, obtemos
\frac{e^{a x}-e^{b x}}{x} = \frac{(e^a)^x - 1}{x} \;-\; \frac{(e^b)^x - 1}{x}.

Passo 4

Aplicando o limite dado em cada termo:
\lim_{x\to0}\frac{(e^a)^x - 1}{x} = \ln(e^a) = a,
\lim_{x\to0}\frac{(e^b)^x - 1}{x} = \ln(e^b) = b.
Portanto,
\lim_{x\to0} \frac{e^{a x}-e^{b x}}{x} = a - b.

Resposta

a - b

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