Calcule
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Passo 1
Então, a gente precisa calcular o limite quando $ n $ vai para o infinito da soma $ \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2}} $. Isso envolve entender somatórios e limites, que são partes importantes do cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever essa soma usando a notação de somatório. A expressão fica:
Aqui, $ k $ representa cada termo da soma que vai de 1 até $ n $.
Passo 3
Sabemos que a soma dos números de 1 até $ n $ é dada pela fórmula:
Isso facilita porque não precisamos somar termo por termo.
Passo 4
Agora, substituímos essa soma na nossa expressão original:
Simplificando, temos:
Passo 5
Por fim, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito:
Isso porque, quando $ n $ é muito grande, $ n+1 $ é aproximadamente $ n $, então a fração se simplifica para $ \frac{1}{2} $.
Resposta
O limite é $ \frac{1}{2} $.