Calcule lim n +infty(1n^2+2n^2+cdots+nn^2).

Passo 1

Então, a gente precisa calcular o limite quando $ n $ vai para o infinito da soma $ \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + \cdots + \frac{n}{n^{2}} $. Isso envolve entender somatórios e limites, que são partes importantes do cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever essa soma usando a notação de somatório. A expressão fica:
sumk=1^n kn^2
Aqui, $ k $ representa cada termo da soma que vai de 1 até $ n $.

Passo 3

Sabemos que a soma dos números de 1 até $ n $ é dada pela fórmula:
n
Isso facilita porque não precisamos somar termo por termo.

Passo 4

Agora, substituímos essa soma na nossa expressão original:
sumk=1^n kn^2 = 1n^2 cdot n(n+1)2 = n(n+1)2n^2
Simplificando, temos:
n+12n

Passo 5

Por fim, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ n $ tende ao infinito:
n
Isso porque, quando $ n $ é muito grande, $ n+1 $ é aproximadamente $ n $, então a fração se simplifica para $ \frac{1}{2} $.

Resposta

O limite é $ \frac{1}{2} $.

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