1. Calcule \lim _{n \rightarrow \infty}\left[i+\left(\frac{2}{5}+i \frac{3}{5}\right)^{n}\right].

Passo 1

O enunciado pede calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty}\Bigl[i+\bigl(\tfrac{2}{5}+i\tfrac{3}{5}\bigr)^n\Bigr].
Estamos diante de uma sequência de números complexos e, para resolvê-la, usamos o fato de que se \lvert z\rvert<1, então z^n\to0 quando n\to\infty.

Passo 2

Seja z=\tfrac{2}{5}+i\tfrac{3}{5}. Calculamos o módulo de z:
\lvert z\rvert =\sqrt{\bigl(\tfrac{2}{5}\bigr)^2+\bigl(\tfrac{3}{5}\bigr)^2} =\frac{\sqrt{4+9}}{5} =\frac{\sqrt{13}}{5} <1.
Como \lvert z\rvert<1, segue que \displaystyle \lim_{n\to\infty}z^n=0.
Portanto,
\lim_{n\to\infty}\Bigl[i+z^n\Bigr] =i+0 =i.

Resposta

i

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