\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2} e^{x^{3}}}{2+e^{x^{3}}} d x
Subst.: u=2+e^{x^{3}} \Rightarrow d u=3 x^{2} e^{x^{3}} d x. Limites: 3 \rightarrow 2+e.
\int_{3}^{2+e} \frac{d u}{u}=\ln (2+e)-\ln 3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2} e^{x^{3}}}{2+e^{x^{3}}}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição e vamos usar uma mudança que simplifica o denominador 2+e^{x^3}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + e^{x^{3}},
o que implica
du = 3 x^{2} e^{x^{3}}\,dx.
Nos limites de integração temos:
  • para x=0, u = 2 + e^{0} = 3,
  • para x=1, u = 2 + e^{1} = 2 + e.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, o numerador 3x^2e^{x^3}dx vira du e o denominador 2+e^{x^3} vira u. Logo
\int_{0}^{1} \frac{3 x^{2} e^{x^{3}}}{2+e^{x^{3}}}\,dx = \int_{3}^{2+e} \frac{1}{u}\,du.

Passo 4

A integral de 1/u é o logaritmo natural. Assim,
\int_{3}^{2+e} \frac{1}{u}\,du = \bigl[\ln(u)\bigr]_{3}^{2+e} = \ln(2+e) - \ln(3).

Resposta

\ln(2+e) - \ln(3)

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