(ITA 2022) Sejam
, com
. Considere as afirmações:
I. Se
e
, então
e
.
II. Se
e
, então
e
.
III. Se
e
, então
e
.
É (são) sempre verdadeira(s):
I. Se
II. Se
III. Se
Passo 1
O enunciado diz que temos
com
e pede para checar se cada uma das afirmações abaixo implica necessariamente que
e
são reais. Vamos usar, conforme o caso, a decomposição em parte real e imaginária ou a forma polar, além de procurar contraexemplos quando necessário.
Passo 2
Analisando I: “Se
e
, então
.”
Escrevendo
Escrevendo
temos
Somando e subtraindo essas duas igualdades, vem
e
. Logo ambos os números têm parte imaginária nula, ou seja,
. Portanto I é sempre verdadeira.
Passo 3
Analisando II: “Se
e
, então
.”
Na forma polar escreva
Na forma polar escreva
Então
com
. Essas duas condições não obrigam
e
a serem múltiplos de
; basta que sejam múltiplos de
. Por exemplo, escolha
Então
e
, mas
e
não são reais. Logo II é falsa.
Passo 4
Analisando III: “Se
e
, então
.”
Basta um contraexemplo similar ao de II: tome
Basta um contraexemplo similar ao de II: tome
Então
e
, mas
. Logo III é falsa.
Resposta
A apenas I.