(ITA 2022) Sejam z_{1}, z_{2} \in \mathbb{C}, com z_{2} \neq 0. Considere as afirmações:
I. Se z_{1}+z_{2} \in \mathbb{R} e z_{1}-z_{2} \in \mathbb{R}, então z_{1} \in \mathbb{R} e z_{2} \in \mathbb{R}.
II. Se z_{1} \cdot z_{2} \in \mathbb{R} e z_{1} / z_{2} \in \mathbb{R}, então z_{1} \in \mathbb{R} e z_{2} \in \mathbb{R}.
III. Se z_{1}+z_{2} \in \mathbb{R} e z_{1} \cdot z_{2} \in \mathbb{R}, então z_{1} \in \mathbb{R} e z_{2} \in \mathbb{R}.
É (são) sempre verdadeira(s):
\begin{array}{ll} \mathrm{A}(\quad) \text { apenas } \mathrm{I} . & \mathrm{B}(\quad) \mathrm{I} \text { e } \mathrm{II} . \quad \mathrm{C}(\quad) \text { apenas } \mathrm{I} \text { e III. } \\ \mathrm{D}(\quad) \text { apenas II. } & \mathrm{E}(\quad) \text { apenas III. } \end{array}

Passo 1

O enunciado diz que temos z_{1},z_{2}\in\mathbb{C} com z_{2}\neq0 e pede para checar se cada uma das afirmações abaixo implica necessariamente que z_{1} e z_{2} são reais. Vamos usar, conforme o caso, a decomposição em parte real e imaginária ou a forma polar, além de procurar contraexemplos quando necessário.

Passo 2

Analisando I: “Se z_{1}+z_{2}\in\mathbb{R} e z_{1}-z_{2}\in\mathbb{R}, então z_{1},z_{2}\in\mathbb{R}.”
Escrevendo
z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,
temos
z_{1}+z_{2}=(a+c)+i(b+d)\in\mathbb{R}\implies b+d=0,
z_{1}-z_{2}=(a-c)+i(b-d)\in\mathbb{R}\implies b-d=0.
Somando e subtraindo essas duas igualdades, vem b=0 e d=0. Logo ambos os números têm parte imaginária nula, ou seja, z_{1},z_{2}\in\mathbb{R}. Portanto I é sempre verdadeira.

Passo 3

Analisando II: “Se z_{1}z_{2}\in\mathbb{R} e \tfrac{z_{1}}{z_{2}}\in\mathbb{R}, então z_{1},z_{2}\in\mathbb{R}.”
Na forma polar escreva
z_{1}=r e^{i\theta},\quad z_{2}=s e^{i\varphi},\quad r,s>0.
Então
z_{1}z_{2}=r s e^{i(\theta+\varphi)}\in\mathbb{R}\implies \theta+\varphi=k\pi,
\frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r}{s}e^{i(\theta-\varphi)}\in\mathbb{R}\implies \theta-\varphi=m\pi,
com k,m\in\mathbb{Z}. Essas duas condições não obrigam \theta e \varphi a serem múltiplos de \pi; basta que sejam múltiplos de \tfrac\pi2. Por exemplo, escolha
z_{1}=i,\quad z_{2}=-i.
Então z_{1}z_{2}=(-i^2)=1\in\mathbb{R} e \tfrac{z_{1}}{z_{2}}=i/(-i)=-1\in\mathbb{R}, mas z_{1} e z_{2} não são reais. Logo II é falsa.

Passo 4

Analisando III: “Se z_{1}+z_{2}\in\mathbb{R} e z_{1}z_{2}\in\mathbb{R}, então z_{1},z_{2}\in\mathbb{R}.”
Basta um contraexemplo similar ao de II: tome
z_{1}=i,\quad z_{2}=-i.
Então z_{1}+z_{2}=0\in\mathbb{R} e z_{1}z_{2}=1\in\mathbb{R}, mas z_{1},z_{2}\notin\mathbb{R}. Logo III é falsa.

Resposta

A apenas I.

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