- Suponha que
é tal que
e
existe. Mostre que
.
Passo 1
O enunciado diz que existe
com
e que a sequência
converge. Queremos mostrar que isso força
. Para isso, vamos usar propriedades de limites de sequências complexas e o fato de que todo termo tem módulo
.
Passo 2
Seja
Como o limite existe, também existe
e necessariamente
Por outro lado,
pelo simples fato de que deslocar o índice não muda o limite.
Passo 3
Comparando as duas expressões do mesmo limite, obtemos
Passo 4
Restou mostrar que
, para podermos dividir. Como
, temos
para todo
. Pela continuidade do módulo,
logo
.
Passo 5
Dividindo
por
, concluímos