1. Suponha que a \in \mathbb{C} é tal que |a|=1 e \lim _{n \rightarrow \infty} a^{n} existe. Mostre que a=1.

Passo 1

O enunciado diz que existe a\in\mathbb{C} com \lvert a\rvert=1 e que a sequência \bigl(a^n\bigr)_{n=1}^\infty converge. Queremos mostrar que isso força a=1. Para isso, vamos usar propriedades de limites de sequências complexas e o fato de que todo termo tem módulo 1.

Passo 2

Seja
L = \lim_{n\to\infty} a^n.
Como o limite existe, também existe
\lim_{n\to\infty} a^{n+1}
e necessariamente
\lim_{n\to\infty} a^{n+1} = \lim_{n\to\infty}\bigl(a\cdot a^n\bigr) = a\cdot\lim_{n\to\infty}a^n = a\,L.
Por outro lado, \lim_{n\to\infty}a^{n+1}=L pelo simples fato de que deslocar o índice não muda o limite.

Passo 3

Comparando as duas expressões do mesmo limite, obtemos
L = a\,L.

Passo 4

Restou mostrar que L\neq 0, para podermos dividir. Como \lvert a\rvert=1, temos \lvert a^n\rvert=1 para todo n. Pela continuidade do módulo,
\lvert L\rvert = \lim_{n\to\infty}\lvert a^n\rvert = 1,
logo L\neq 0.

Passo 5

Dividindo L = a\,L por L\neq 0, concluímos
a = 1.

Resposta

a=1

Exercícios relacionados