\int_{0}^{\pi / 6} \frac{3 \cos (3 x)}{2+\sin (3 x)} d x
Subst.: u=2+\sin (3 x) \Rightarrow d u=3 \cos (3 x) d x. Limites: 2 \rightarrow 3.
\int_{2}^{3} \frac{d u}{u}=\ln \left(\frac{3}{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/6}\frac{3\cos(3x)}{2+\sin(3x)}\,dx
usando o método de substituição. O conteúdo principal é transformar o numerador em du para obter uma integral de função simples de u.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 2 + \sin(3x).
Como \displaystyle \frac{d}{dx}\sin(3x)=3\cos(3x), temos
du = 3\cos(3x)\,dx.

Passo 3

Agora determinamos os limites em u:
para x=0, \sin(3\cdot0)=0 então u=2+0=2;
para x=\pi/6, \sin(3\cdot\pi/6)=\sin(\pi/2)=1 então u=2+1=3.

Passo 4

Substituindo na integral obtemos
\int_{0}^{\pi/6}\frac{3\cos(3x)}{2+\sin(3x)}\,dx =\int_{u=2}^{u=3}\frac{1}{u}\,du =\bigl[\ln(u)\bigr]_{2}^{3} =\ln(3)-\ln(2).

Passo 5

Como \ln(3)-\ln(2)=\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr), essa é a resposta final.

Resposta

\ln\!\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)

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