Calcule:
\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{(n+1) \ln n-n \ln (n+1)}{\ln n}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{n\to+\infty}\frac{(n+1)\ln n - n\ln(n+1)}{\ln n}.
Vamos usar que quando n é grande o termo \ln(1+x) com x pequeno admite a expansão
\ln(1+x)=x-\tfrac{x^2}{2}+O(x^3).

Passo 2

Reescrevemos o numerador de modo mais manejável:
(n+1)\ln n - n\ln(n+1) =\ln\bigl(n^{\,n+1}\bigr)-\ln\bigl((n+1)^n\bigr) =\ln\!\Bigl(\frac{n^{\,n+1}}{(n+1)^n}\Bigr) =\ln n + n\ln\frac{n}{n+1}.

Passo 3

Note que
n\ln\frac{n}{n+1} =-n\ln\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr).
Pela expansão de Taylor com x=1/n,
\ln\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr) =\tfrac1n-\tfrac1{2n^2}+O\bigl(\tfrac1{n^3}\bigr),
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-n\ln\Bigl(1+\tfrac1n\Bigr) =-1+\tfrac1{2n}+O\bigl(\tfrac1{n^2}\bigr).

Passo 4

Com isso o numerador vale
(n+1)\ln n - n\ln(n+1) =\ln n -1 +O\bigl(\tfrac1n\bigr).
Dividindo por \ln n
\frac{(n+1)\ln n - n\ln(n+1)}{\ln n} =1-\frac1{\ln n}+O\!\Bigl(\frac1{n\ln n}\Bigr) \longrightarrow1.

Resposta

1

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