Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{3^{n}}+\frac{1}{4^{n}}\right].

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\tfrac{1}{3^{n}}+\tfrac{1}{4^{n}}\Bigr]
converge ou diverge. O conteúdo aqui são séries numéricas e, mais especificamente, vamos usar o teste da série geométrica e a propriedade de separação (linearidade) de séries para chegar à conclusão.

Passo 2

Usamos a propriedade de linearidade de séries, que diz que
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n + b_n\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}a_n + \sum_{n=1}^{\infty}b_n.
Aplicando com a_n = 1/3^n e b_n = 1/4^n, temos
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\tfrac{1}{3^{n}}+\tfrac{1}{4^{n}}\Bigr] =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^{n}} \;+\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^{n}}.

Passo 3

Cada uma das duas séries resultantes é uma série geométrica de razão \tfrac{1}{3} e \tfrac{1}{4}, respectivamente. Lembrando que uma série geométrica
\sum_{n=1}^{\infty} r^n
converge se, e somente se, |r|<1. Aqui temos \bigl|\tfrac{1}{3}\bigr|<1 e \bigl|\tfrac{1}{4}\bigr|<1, logo ambas convergem.

Passo 4

Podemos ainda calcular explicitamente cada soma. Para \sum_{n=1}^{\infty}r^n com |r|<1, vale
\sum_{n=1}^{\infty}r^n = \frac{r}{1-r}.
Assim,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n} =\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{2},
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4^n} =\frac{\tfrac{1}{4}}{1-\tfrac{1}{4}} =\frac{\tfrac{1}{4}}{\tfrac{3}{4}} =\frac{1}{3}.
Somando os dois resultados,
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[\tfrac{1}{3^{n}}+\tfrac{1}{4^{n}}\Bigr] =\frac{1}{2}+\frac{1}{3} =\frac{3}{6}+\frac{2}{6} =\frac{5}{6}.

Resposta

A série converge, e seu valor é \tfrac{5}{6}.

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