Mostre que as sequências abaixo convergem para os limites indicados:
Se a é número real qualquer, então a_{n}=(1+a / n)^{n} \rightarrow e^{a}.

Passo 1

O enunciado define a sequência
a_{n} = \bigl(1 + \tfrac{a}{n}\bigr)^{n},
onde a é um número real qualquer, e pede para mostrar que
\lim_{n\to\infty}a_{n} = e^{a}.
O conteúdo é limites de sequência, uso do logaritmo para tratar potência e a continuidade da função exponencial. Vamos usar o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1
e a continuidade de \exp.

Passo 2

Para empregar o logaritmo, precisamos que 1 + \tfrac{a}{n}>0. Se a\ge0, isso vale para todo n. Se a<0, basta tomar n>|a|. Assim, para n grande, a_{n}>0 e podemos escrever
\ln(a_{n}) = \ln\bigl((1 + \tfrac{a}{n})^{n}\bigr) = n\,\ln\bigl(1 + \tfrac{a}{n}\bigr).

Passo 3

Defina
x_{n} = \frac{a}{n}.
Então x_{n}\to0 quando n\to\infty e
\ln(a_{n}) = n\,\ln(1 + x_{n}) = \frac{a}{x_{n}}\;\ln(1 + x_{n}) = a\;\frac{\ln(1 + x_{n})}{x_{n}}.

Passo 4

Usamos o limite fundamental
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{x\to0}\frac{\frac{d}{dx}\ln(1+x)}{\frac{d}{dx}x} = \lim_{x\to0}\frac{1}{1+x} =1.
Como x_{n}\to0, segue
\frac{\ln(1 + x_{n})}{x_{n}}\;\longrightarrow\;1,
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\ln(a_{n}) = a\;\frac{\ln(1 + x_{n})}{x_{n}} \;\longrightarrow\;a.

Passo 5

A função exponencial é contínua, então
a_{n} = \exp\bigl(\ln(a_{n})\bigr) \;\longrightarrow\;\exp(a) = e^{a}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}\bigl(1 + \tfrac{a}{n}\bigr)^{n} \;=\; e^{a}.

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