Mostre que as sequências abaixo convergem para os limites indicados:
Se
é número real qualquer, então
.
Se
Passo 1
O enunciado define a sequência
onde
é um número real qualquer, e pede para mostrar que
O conteúdo é limites de sequência, uso do logaritmo para tratar potência e a continuidade da função exponencial. Vamos usar o limite fundamental
e a continuidade de
.
Passo 2
Para empregar o logaritmo, precisamos que
. Se
, isso vale para todo
. Se
, basta tomar
. Assim, para
grande,
e podemos escrever
Passo 3
Defina
Então
quando
e
Passo 4
Usamos o limite fundamental
Como
, segue
logo
Passo 5
A função exponencial é contínua, então