Mostre que as sequências abaixo convergem para os limites indicados:
Se
é um inteiro positivo qualquer, então
.
Se
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo
, a sequência
converge para
quando
.
O conteúdo aqui é comparar o crescimento polinomial com o crescimento exponencial
. Vamos usar o teste da razão de sequência: se
O conteúdo aqui é comparar o crescimento polinomial
então
.
Passo 2
Calculemos a razão entre termos consecutivos:
Passo 3
Agora vemos o limite dessa razão:
Como
, existe
tal que para todo
Passo 4
Dessa forma, a partir de
temos
Mas
quando
, logo