Mostre que as sequências abaixo convergem para os limites indicados:
Se k é um inteiro positivo qualquer, então a_{n}=\frac{n^{k}}{e^{n}} \rightarrow 0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo inteiro positivo k, a sequência
a_{n} = \frac{n^{k}}{e^{n}}
converge para 0 quando n \to \infty.
O conteúdo aqui é comparar o crescimento polinomial n^{k} com o crescimento exponencial e^{n}. Vamos usar o teste da razão de sequência: se
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = L < 1,
então a_{n}\to 0.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \frac{\frac{(n+1)^{k}}{e^{\,n+1}}}{\frac{n^{k}}{e^{\,n}}} = \frac{(n+1)^{k}}{n^{k}}\;\frac{e^{\,n}}{e^{\,n+1}} = \Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^{k}\,\frac{1}{e}.

Passo 3

Agora vemos o limite dessa razão:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim_{n\to\infty}\Bigl(1 + \frac{1}{n}\Bigr)^{k}\,\frac{1}{e} = 1\cdot\frac{1}{e} = \frac{1}{e} < 1.
Como \frac{1}{e}\approx0,3679, existe N tal que para todo n\ge N
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \;\le\; q \quad\text{com algum}\quad q \;\in\;(0,1).

Passo 4

Dessa forma, a partir de n=N temos
a_{n} \;\le\; a_{N}\,q^{\,n-N}.
Mas q^{\,n-N}\to 0 quando n\to\infty, logo
a_{n} \;\to\; 0.

Resposta

\displaystyle\frac{n^{k}}{e^{n}}\to 0 quando n\to\infty.

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