Decida se cada uma das séries abaixo, converge ou diverge e dê razões convincentes para sua resposta:
\frac{1}{500}+\frac{1}{505}+\frac{1}{510}+\frac{1}{515}+\cdots.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\frac{1}{500}+\frac{1}{505}+\frac{1}{510}+\frac{1}{515}+\cdots
converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas de termos positivos; vamos usar o teste da comparação limite (ou teste de comparação assintótica) relacionando com a série harmônica.

Passo 2

Denotemos o termo geral por
a_n = \frac{1}{500 + 5n}\,,\quad n = 0,1,2,\dots
Note que
500 + 5n = 5\,(n + 100),
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a_n = \frac{1}{5\,(n+100)} = \frac{1}{5}\,\frac{1}{n+100}.

Passo 3

Vamos comparar a_n com b_n = \frac{1}{n}, cuja série \sum b_n é a harmônica e diverge. Calculamos o quociente limite:
L = \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{5(n+100)}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{5(n+100)} = \frac{1}{5}.
Como 0 < L < \infty, pelo teste da comparação limite \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento: ambas divergem.

Resposta

A série diverge.

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