2 Determine todos os números reais \alpha para os quais a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^{\alpha}}
é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para determinar todos os valores de \alpha\in\mathbb{R} tais que a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\alpha}}
é divergente. O conteúdo principal aqui é o teste integral para séries p-séries.

Passo 2

Para aplicar o teste integral, considere a função
f(x) = \frac{1}{x^{\alpha}},
que é positiva e monotonicamente decrescente em [1,\infty) sempre que \alpha for fixo. O teste integral diz que a série \sum_{n=1}^{\infty}f(n) converge se, e somente se, a integral imprópria
\int_{1}^{\infty} f(x)\,dx
converge. Em particular, se essa integral diverge, a série também diverge.

Passo 3

Vamos calcular
\int_{1}^{N} x^{-\alpha}\,dx
em dois casos:
Caso \alpha\neq 1:
\int_{1}^{N} x^{-\alpha}\,dx = \frac{x^{1-\alpha}}{1-\alpha}\Bigg|_{1}^{N} = \frac{N^{\,1-\alpha}-1}{1-\alpha}.
Ao levar N\to\infty:
  • Se \alpha>1, então 1-\alpha<0 e N^{1-\alpha}\to0, de modo que a integral converge.
  • Se \alpha<1, então 1-\alpha>0 e N^{1-\alpha}\to\infty, logo a integral diverge.
Caso \alpha=1:
\int_{1}^{N} x^{-1}\,dx = \ln(N),
que diverge quando N\to\infty.

Passo 4

Do teste integral, a série \sum_{n=1}^{\infty}1/n^{\alpha} diverge sempre que a integral correspondente diverge. Portanto, a divergência ocorre para todos os \alpha\le 1.

Resposta

A série é divergente para \alpha \le 1.

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