Calcule \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n} em cada caso:
a_{n}=\frac{e^{n}}{n}

Passo 1

O enunciado pede \lim_{n\to+\infty}a_n para a sequência
a_n=\frac{e^n}{n}.
O conteúdo é crescimento assintótico de sequências, e vamos comparar o crescimento de e^n (exponencial) com o de n (polinomial).

Passo 2

Em geral, uma função exponencial cresce muito mais rápido que qualquer polinômio. Logo, a intuição sugere que \frac{e^n}{n} deva crescer sem limite.

Passo 3

Para confirmar, usamos o teste da razão entre termos consecutivos. Calculamos
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{e^{\,n+1}/(n+1)}{e^n/n} =e\;\frac{n}{n+1}.
À medida que n\to+\infty, temos \frac{n}{n+1}\to1, então
\frac{a_{n+1}}{a_n}\to e>1.
Isso mostra que os termos estão crescendo de forma acelerada.

Passo 4

Como a razão entre termos tende a um valor maior que 1, a sequência não se estabiliza nem converge a um número finito: ela diverge para +\infty.

Resposta

\lim_{n\to+\infty}a_n=+\infty.

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