Calcule \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n} em cada caso:
a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n^{2}+1}-n}

Passo 1

O enunciado pede calcular \lim_{n\to+\infty}a_n com
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1} - n}.
O conteúdo aqui é limites de sequência envolvendo raiz, e vamos usar a técnica de racionalização do denominador para simplificar a expressão.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{n^2+1}+n, que é o conjugado de \sqrt{n^2+1}-n:
a_n = \frac{1}{\sqrt{n^2+1}-n}\cdot\frac{\sqrt{n^2+1}+n}{\sqrt{n^2+1}+n} = \frac{\sqrt{n^2+1}+n}{(\sqrt{n^2+1})^2 - n^2} = \sqrt{n^2+1} + n.

Passo 3

Para analisar \sqrt{n^2+1}+n quando n\to+\infty, note que
\sqrt{n^2+1} = n\,\sqrt{1+\tfrac{1}{n^2}} \sim n\Bigl(1 + \tfrac{1}{2n^2}\Bigr) = n + \tfrac{1}{2n}.
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\sqrt{n^2+1} + n \sim 2n + \tfrac{1}{2n} \;\longrightarrow\; +\infty.

Resposta

+\infty

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