\int \frac{4 x^{3}+2 x^{2}-5 x-18}{(x-4)(x+1)^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{4x^{3}+2x^{2}-5x-18}{(x-4)(x+1)^{3}}\,dx.
O conteúdo é integração por frações parciais: vamos decompor a função racional em somatório de termos simples para integrar facilmente.

Passo 2

Suponha a decomposição
\frac{4x^{3}+2x^{2}-5x-18}{(x-4)(x+1)^{3}} = \frac{A}{x-4} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{(x+1)^{2}} + \frac{D}{(x+1)^{3}}.
Multiplicando ambos os lados por (x-4)(x+1)^{3}, obtemos
4x^{3}+2x^{2}-5x-18 = A\,(x+1)^{3} + B\,(x-4)(x+1)^{2} + C\,(x-4)(x+1) + D\,(x-4).

Passo 3

Para achar A e D usamos x=4 e x=-1:
  • Se x=4:
250 = A\cdot5^{3} =125A\quad\Longrightarrow\quad A=2.
  • Se x=-1:
-15 = D\cdot(-1-4) = -5D\quad\Longrightarrow\quad D=3.

Passo 4

Para determinar B e C expandimos o lado direito e comparamos coeficientes.
Expandindo e juntando termos em potências de x, chega-se a:
4x^{3}+2x^{2}-5x-18 =(2+B)x^{3} + (6-2B+C)x^{2} + (9-7B-3C)x +(-10-4B-4C).
Igualando coeficientes a cada potência de x:
2+B=4,\quad 6-2B+C=2,\quad 9-7B-3C=-5,\quad -10-4B-4C=-18.
Da primeira equação B=2. Substituindo na segunda, 6-4+C=2 C=0. As outras equações conferem.

Passo 5

A decomposição final é
\frac{4x^{3}+2x^{2}-5x-18}{(x-4)(x+1)^{3}} = \frac{2}{x-4} + \frac{2}{x+1} + \frac{0}{(x+1)^{2}} + \frac{3}{(x+1)^{3}}.
Logo a integral separa-se em
\int \frac{2}{x-4}\,dx + \int \frac{2}{x+1}\,dx + 3\int \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx.

Passo 6

Integramos termo a termo:
\int \frac{2}{x-4}\,dx = 2\ln\bigl|x-4\bigr|, \quad \int \frac{2}{x+1}\,dx = 2\ln\bigl|x+1\bigr|,
\int (x+1)^{-3}\,dx = \frac{(x+1)^{-2}}{-2} = -\frac{1}{2(x+1)^{2}},
então
3\int \frac{1}{(x+1)^{3}}\,dx = 3\cdot\Bigl(-\frac{1}{2(x+1)^{2}}\Bigr) = -\frac{3}{2(x+1)^{2}}.

Resposta

\int \frac{4x^{3}+2x^{2}-5x-18}{(x-4)(x+1)^{3}}\,dx = 2\ln\bigl|x-4\bigr| + 2\ln\bigl|x+1\bigr| - \frac{3}{2(x+1)^{2}} + C.

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