Problema 7. Calcule o momento de inércia de uma casca esférica de raio
e massa
, com distribuição de massa superficial uniforme
, quando gira em torno do eixo
que passa pelo seu centro de massa.
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia de uma casca esférica de raio
e massa total
, com densidade de massa superficial uniforme
, girando em torno do eixo
que passa pelo seu centro. O conteúdo é cálculo de momento de inércia por integração de elementos de massa sobre a superfície da esfera.
Passo 2
A densidade de massa superficial é
e um elemento de massa sobre a casca é
, onde em coordenadas esféricas
. A distância de um ponto qualquer até o eixo
é
.
Passo 3
O momento de inércia em torno do eixo
é dado por
que, substituindo
,
e
, fica
Passo 4
Separamos a integração em
e
:
Logo,
Passo 5
Substituindo
em
, obtemos