Problema 7. Calcule o momento de inércia de uma casca esférica de raio R e massa M, com distribuição de massa superficial uniforme \sigma, quando gira em torno do eixo z que passa pelo seu centro de massa.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia de uma casca esférica de raio \,R e massa total \,M, com densidade de massa superficial uniforme \sigma, girando em torno do eixo z que passa pelo seu centro. O conteúdo é cálculo de momento de inércia por integração de elementos de massa sobre a superfície da esfera.

Passo 2

A densidade de massa superficial é
\sigma = \frac{M}{4\pi R^2}
e um elemento de massa sobre a casca é \,dm = \sigma\,dS, onde em coordenadas esféricas \,dS = R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi. A distância de um ponto qualquer até o eixo z é \,r_\perp = R\sin\theta.

Passo 3

O momento de inércia em torno do eixo z é dado por
I_z = \int r_\perp^2 \,dm
que, substituindo r_\perp, dm e dS, fica
I_z = \sigma \int_{0}^{2\pi}\!\!\int_{0}^{\pi} (R\sin\theta)^2 \;R^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi

Passo 4

Separamos a integração em \varphi e \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\varphi = 2\pi \quad\text{e}\quad \int_{0}^{\pi}\sin^3\theta\,d\theta = \frac{4}{3}
Logo,
I_z = \sigma\,R^4\;\bigl(2\pi\bigr)\;\frac{4}{3} = \frac{8\pi}{3}\,\sigma\,R^4

Passo 5

Substituindo \sigma = \tfrac{M}{4\pi R^2} em I_z, obtemos
I_z = \frac{8\pi}{3}\,\frac{M}{4\pi R^2}\,R^4 = \frac{2}{3}\,M\,R^2

Resposta

\displaystyle I_z = \frac{2}{3}\,M\,R^2

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