Calcule \lim _{n \rightarrow+\infty} a_{n} em cada caso:
a_{n}=\left(1+\frac{1}{3 n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \Bigl(1 + \frac{1}{3n}\Bigr)^{n}
quando n \to +\infty. O conteúdo aqui é o cálculo de limite envolvendo a forma clássica \bigl(1+\tfrac{x}{n}\bigr)^{n}, que tende a e^{x}.

Passo 2

Para facilitar, tomamos o logaritmo de a_{n}:
\ln a_{n} = n \,\ln\!\Bigl(1 + \frac{1}{3n}\Bigr).
Como \tfrac{1}{3n}\to0, usamos a expansão
\ln(1+u)=u+o(u)\quad(u\to0),
com u=\tfrac{1}{3n}. Assim
\ln a_{n} = n\Bigl(\frac{1}{3n}+o\bigl(\tfrac{1}{n}\bigr)\Bigr) = \frac{1}{3}+o(1),
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\lim_{n\to\infty}\ln a_{n} = \frac{1}{3}.

Passo 3

Como a exponencial é contínua,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \exp\Bigl(\lim_{n\to\infty}\ln a_{n}\Bigr) = e^{1/3}.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_{n} = e^{\tfrac{1}{3}}.

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