Considerando as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) definidas por
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} \quad \text { e } \quad b_{n}=e^{-\frac{n}{n+1}}
calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(a_{n}-3 b_{n}\right)

Passo 1

O enunciado dá duas sequências
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3}
e
b_{n}=e^{-\frac{n}{n+1}}
e pede o limite \displaystyle\lim_{n\to+\infty}\bigl(a_{n}-3\,b_{n}\bigr).
O conteúdo usado será cálculo de limites de razão de polinômios e de função exponencial.

Passo 2

Calculamos primeiro \displaystyle\lim_{n\to+\infty}a_{n}.
Como os graus dos polinômios no numerador e denominador são ambos 2, o limite é a razão dos coeficientes dominantes:
\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3} =\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora \displaystyle\lim_{n\to+\infty}b_{n}.
Observe o expoente \displaystyle -\frac{n}{n+1}=-1+\frac{1}{n+1},
cujo limite é -1. Pela continuidade da exponencial,
\lim_{n\to+\infty}b_{n} =\lim_{n\to+\infty}e^{-\frac{n}{n+1}} =e^{-1}.

Passo 4

Como a_{n}\to\tfrac12 e b_{n}\to e^{-1}, vale
\lim_{n\to+\infty}\bigl(a_{n}-3\,b_{n}\bigr) =\frac12-3\,e^{-1}.

Resposta

\frac12-3e^{-1}

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