Considerando as sequências \left(a_{n}\right) e \left(b_{n}\right) definidas por
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2 n^{2}+3} \quad \text { e } \quad b_{n}=e^{-\frac{n}{n+1}}
calcule os seguintes limites:
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(2 a_{n}+3 b_{n}\right)

Passo 1

O enunciado define duas sequências
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3}
e
b_{n}=e^{-\frac{n}{n+1}},
e pede o limite
\lim_{n\to+\infty}\bigl(2a_{n}+3b_{n}\bigr).
O conteúdo é o cálculo de limites de sequências e uso da propriedade de linearidade do limite.

Passo 2

Calcular \lim_{n\to\infty}a_{n}. Dividimos numerador e denominador por n^{2}:
a_{n} =\frac{n^{2}+1}{2n^{2}+3} =\frac{1+\frac{1}{n^{2}}}{2+\frac{3}{n^{2}}},
logo
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\frac{1+0}{2+0} =\frac12.
Portanto
\lim_{n\to\infty}2a_{n} =2\cdot\frac12 =1.

Passo 3

Calcular \lim_{n\to\infty}b_{n}. Observe o expoente:
-\frac{n}{n+1} =-\frac{1}{1+\frac1n} \;\longrightarrow\;-1 \quad\text{quando }n\to\infty.
Logo
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}e^{-\frac{n}{n+1}} =e^{-1}.
E então
\lim_{n\to\infty}3b_{n} =3e^{-1}.

Passo 4

Pela linearidade do limite,
\lim_{n\to\infty}\bigl(2a_{n}+3b_{n}\bigr) =\lim_{n\to\infty}2a_{n} +\lim_{n\to\infty}3b_{n} =1+3e^{-1}.

Resposta

1+\frac{3}{e}.

Exercícios relacionados