Calcule.
lim x p g(x)-g(p)x-p onde g(x)=1x^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto pg(x)-g(p)x-p onde g(x)=1x^2
Esse limite é exatamente a definição de derivada de g em p. Vamos, portanto, usar o quociente de diferença e depois calcular o limite.

Passo 2

Primeiro, escrevemos o quociente de diferença de g:
g(x)-g(p)x-p =1x^2-1p^2x-p

Passo 3

Agora, combinamos as frações no numerador:
1x^2-1p^2 =p^2 - x^2x^2,p^2,
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1x^2-1p^2x-p =p^2 - x^2x^2,p^2,(x-p)

Passo 4

Fatoramos p^2 - x^2 como diferença de quadrados:
p^2 - x^2 = (p - x)(p + x)
Assim,
p^2 - x^2x^2,p^2,(x-p) =(p - x)(p + x)x^2,p^2,(x - p) =-p + xx^2,p^2

Passo 5

Por fim, tomamos o limite quando xto p:
limxto pl(-p + xx^2,p^2r) =-p + pp^2,p^2 =-2pp^4 =-2p^3

Resposta

-2p^3

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