Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x infty x^23 x^2+1

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite quando xtoinfty, que\r
limxtoinftyx^23x^2+1\r
existe e descobrir seu valor. Vamos usar o conceito: existe LinR tal que, para todo varepsilon>0, existe M>0 com\r
se x>M então l|tfracx^23x^2+1-Lr|<varepsilonã

Passo 2

Para adivinhar o valor do limite, dividimos numerador e denominador por x^2:\r
\r
Quando xtoinfty, tfrac1x^2to0, logo o candidato a limite é\r
L=13

Passo 3

Calculemos a diferença em valor absoluto:\r

Passo 4

Observe que para x>0 vale 3x^2+1>3x^2, então\r
13(3x^2+1)<13cdot3x^2=19x^2\r
Dado varepsilon>0, queremos \r
\r
Basta então escolher\r
M=maxl1,;tfrac13raizvarepsilonr

Passo 5

Com esse M, sempre que x>M teremos\r
l|tfracx^23x^2+1-tfrac13r|<=19x^2<varepsilon\r
Isso confirma, pela definição, que\r
limxtoinftyx^23x^2+1=13

Resposta

13

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