Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 1^+ x2 x-2

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, usando a definição de limite infinito, que
limxto1^+x2x-2=+infty
O conteúdo que vamos usar é a definição de limite na aproximação pela direita quando o valor tende a +infty: para cada M>0 devemos encontrar de<a>0 tal que, sempre que 0<x-1<de<a, valha
x2x-2>M

Passo 2

Reescrevemos a função de modo a separar o fator que explode em x=1:
x2x-2 =x2(x-1)
Se garantirmos que 1<x<2, então x<2 e, portanto,
x2(x-1)>12(x-1)

Passo 3

Para ter 12(x-1)>M basta exigir
x-1<12M
Logo, dado qualquer M>0, escolhemos
de<a = minl1,;12Mr
Assim asseguramos simultaneamente x-1<1 (portanto x<2) e x-1<tfrac12M.

Passo 4

Agora, se 0<x-1<de<a, temos 1<x<2 e também x-1<tfrac12M. Então
x2x-2 =x2(x-1) >12(x-1) > M
Isso mostra que sempre que 0<x-1<de<a, a função ultrapassa o valor M.

Passo 5

Pelo critério de limite infinito pela direita, concluímos que
limxto1^+x2x-2=+infty

Resposta

limxto1^+x2x-2=+infty.

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