Calcule.
lim x p f(x)-f(p)x-p onde f(x)=1x

Passo 1

O enunciado pede calcular
limxto pf(x)-f(p)x-p onde f(x)=1x
Isso é exatamente a definição de derivada de f em p. Note que precisamos de pneq0 para f(p) existir.

Passo 2

Vamos simplificar a diferença quociente:
f(x)-f(p)x-p = 1x-1px-p = p-xx,px-p = -,x-px,p,cdot1x-p = -1x,p

Passo 3

Agora basta tomar o limite de -1/(x,p) quando xto p. Como essa função é contínua em x=pneq0, temos
limxto pl(-1x,pr) = -1pcdot p = -1p^2

Resposta

-1p^2

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