Exercício 1: Mostre, utilizando a definição, que existe o limite de f(x), tal que
lim x 2^+ 13 x-6

Passo 1

O enunciado define a função
f(x)=13x-6
e pede para mostrarmos, usando a definição de limite, que
limxto2^+f(x)
existe (no sentido de limite infinito). O conteúdo é o conceito de limite que diverge para +infty.

Passo 2

Para x>2 escrevemos
3x-6 = 3(x-2),
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f(x)=13(x-2)
Queremos provar que f(x) fica arbitrariamente grande quando x se aproxima de 2 pela direita. A definição de limite infinito é:
“Para todo A>0 existe de<a>0 tal que, se 0 < x-2 < de<a, então f(x)>A.”

Passo 3

Começamos impondo a desigualdade que queremos garantir:
13(x-2)>A
Como x-2>0, invertemos ambos os lados:
x-2 < 13A

Passo 4

Basta então escolher
de<a = 13A,
que é positivo para todo A>0. Com essa escolha, sempre que
0 < x-2 < de<a
temos
13(x-2) > A,
ou seja, f(x)>A.

Passo 5

Pelo critério de limite infinito, concluímos que
limxto2^+13x-6=+infty

Resposta

limxto2^+13x-6=+infty.

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