Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(1 / 2,-2)} \frac{(2 x-1)^{2} \ln (2 x)}{5(2 x-1)^{2}+3(y+2)^{4}}

Passo 1

O enunciado pede o valor de
\lim_{(x,y)\to\bigl(\tfrac12,-2\bigr)} \frac{(2x-1)^2\,\ln(2x)}{5(2x-1)^2 + 3(y+2)^4}.
Isso é um limite de função de duas variáveis que resulta num caso indeterminado 0/0. Para resolver, vamos usar a mudança de variáveis
u = 2x - 1, \quad v = y + 2,
de forma que (x,y)\to(\tfrac12,-2) equivale a (u,v)\to(0,0).

Passo 2

Em termos de u e v, notamos que 2x = u+1, logo
\ln(2x) = \ln(1+u).
A expressão fica
\frac{(2x-1)^2\,\ln(2x)}{5(2x-1)^2 + 3(y+2)^4} = \frac{u^2\,\ln(1+u)}{5u^2 + 3v^4}.

Passo 3

Para \ln(1+u) próximo de u=0 temos a expansão
\ln(1+u) = u + o(u),
ou seja, \ln(1+u)\sim u. Assim o numerador é
u^2\,\ln(1+u) = u^2\bigl(u + o(u)\bigr) = u^3 + o(u^3),
enquanto o denominador satisfaz
5u^2 + 3v^4 \;\ge\; 5u^2.
Portanto, em valor absoluto,
\left|\frac{u^2\,\ln(1+u)}{5u^2 + 3v^4}\right| \le \frac{|u^3| + o(u^3)}{5u^2} = \frac{|u|}{5} + o(|u|),
que tende a 0 quando (u,v)\to(0,0). Isso mostra que o limite é 0 independentemente da forma de (u,v)\to(0,0).

Resposta

O valor do limite é 0.

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