Teste a série quanto a convergência ou divergência.
6. \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{n}{5 n+1}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série alternativa
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\frac{n}{5n+1}.
O conteúdo principal aqui é o teste da divergência (termo geral) e, se fosse o caso, o teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Para qualquer série, um requisito necessário de convergência é
\lim_{n\to\infty}a_n = 0,
onde a_n é o termo geral. Aqui temos
a_n = (-1)^{n+1}\frac{n}{5n+1}.
Observe primeiro o valor absoluto do termo geral:
\bigl|a_n\bigr| = \frac{n}{5n+1}.
Calculamos o limite:
\lim_{n\to\infty}\frac{n}{5n+1} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{5 + 1/n} = \frac{1}{5}\neq 0.
Como \lim_{n\to\infty}a_n não é zero, a série falha no teste da divergência.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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