Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{5}+4}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\sqrt{n^{5}+4}}
converge ou diverge.
O tópico envolvido é o critério de comparação de séries, em particular a comparação assintótica com séries-p.

Passo 2

Analisamos o termo geral
a_n = \frac{n}{\sqrt{n^{5}+4}}\,.
Para n grande, temos
\sqrt{n^{5}+4} = n^{5/2}\,\bigl(1 + 4/n^{5}\bigr)^{1/2} \sim n^{5/2},
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a_n \sim \frac{n}{n^{5/2}} = n^{-3/2}.

Passo 3

Comparamos com a série-p
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{3/2}},
que é convergente pois o expoente 3/2 > 1. Mais formalmente, usando o teste da comparação-limite com b_n = 1/n^{3/2}, calculamos
\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\frac{n}{\sqrt{n^{5}+4}}}{n^{-3/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{5/2}}{\sqrt{n^{5}+4}} = 1.
Como esse limite é finito e não nulo, as séries \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Como \sum b_n converge (é uma série-p com p=3/2>1), concluímos que a série original \sum a_n também converge.

Resposta

A série converge.

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