Determine se a série converge ou diverge.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1) 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para determinar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{(n+1)\,2^n}.
Trata-se de uma série de termos positivos. Para verificar convergência, vamos usar o critério da razão (ou d’Alembert), que é adequado quando há fator exponencial.

Passo 2

Seja
a_n = \frac{n}{(n+1)\,2^n} \quad\text{e}\quad a_{n+1} = \frac{n+1}{(n+2)\,2^{n+1}}.
Calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{n+1}{(n+2)\,2^{n+1}}}{\frac{n}{(n+1)\,2^n}} = \frac{n+1}{n+2}\,\frac{n+1}{n}\,\frac{2^n}{2^{n+1}} = \frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\;\frac12.
Agora o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{n(n+2)}\;\frac12 = 1\cdot\frac12 = \frac12.
Como \tfrac12<1, pela razão a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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