Teste a série quanto a convergência ou divergência.
4. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}.
O conteúdo de matéria envolve testes de convergência de séries: vamos usar o teste da série p para verificar convergência absoluta e, se necessário, o critério de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Verificamos a convergência absoluta analisando
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}.
Esta é uma série p com p=2>1, logo ela converge.

Passo 3

Como a série de termos absolutos converge, concluímos que a série original é absolutamente convergente. Toda série absolutamente convergente também converge.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}} converge (na verdade, converge absolutamente).

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