Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, e interprete geometricamente, sendo f dada por:
f(x)=2 x^{2}+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para a função
f(x)=2x^2+2,
ou seja, aplicar a definição de derivada. No final, vamos interpretar geometricamente esse resultado como a inclinação da reta tangente ao gráfico de f.

Passo 2

Substituímos f(x+h) e f(x) na expressão
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Como
f(x+h)=2(x+h)^2+2 \quad\text{e}\quad f(x)=2x^2+2,
temos
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{\bigl(2(x+h)^2+2\bigr)-\bigl(2x^2+2\bigr)}{h}.

Passo 3

Expandimos o quadrado e simplificamos o numerador:
2(x+h)^2+2 = 2(x^2+2xh+h^2)+2 = 2x^2+4xh+2h^2+2,
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(2(x+h)^2+2)-(2x^2+2) = 4xh+2h^2.
Assim,
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = \frac{4xh+2h^2}{h} =4x+2h.

Passo 4

Fazendo h\to0, obtemos
\lim_{h\to0}(4x+2h)=4x.

Passo 5

Geometricamente, esse limite é a derivada f'(x), que representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto \bigl(x,f(x)\bigr). Em outras palavras, 4x é a taxa de variação instantânea de f em x.

Resposta

\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=4x.

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