Calcule os volumes dos sólidos W_{1} e W_{2}, limitados por:
Acima do plano x y, abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}} e dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9. Usar coord. cilíndricas.

Passo 1

O enunciado pede os volumes dos sólidos W_{1} e W_{2} definidos dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=9. Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z=z,
com 0\le r\le3, 0\le\theta\le2\pi e jacobiano r.
Para W_{1}, o sólido está acima do plano z=0 e abaixo do cone z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=r.
Para W_{2}, estará abaixo do plano z=0 e acima do cone z=-\sqrt{x^{2}+y^{2}}=-r.

Passo 2

Volume de W_{1}:
V_{1}=\iiint_{W_{1}}dV =\int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{3}\int_{z=0}^{r}r\,dz\,dr\,d\theta.

Passo 3

Integramos primeiro em z:
\int_{z=0}^{r}r\,dz =r\bigl[z\bigr]_{0}^{r} =r\cdot r =r^{2}.
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V_{1} =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{3}r^{2}\,dr\,d\theta.

Passo 4

Agora em r e \theta:
\int_{0}^{3}r^{2}\,dr =\Bigl[\frac{r^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{3} =\frac{27}{3} =9,
V_{1} =\int_{0}^{2\pi}9\,d\theta =9\cdot2\pi =18\pi.

Passo 5

Volume de W_{2}:
Aqui z varia de -r até 0, mas o integrando em cilíndricas continua r.
V_{2} =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}\int_{z=-r}^{0}r\,dz\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}r\bigl[\,z\,\bigr]_{-r}^{0}\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{3}r^{2}\,dr\,d\theta.
Pelos mesmos cálculos de V_{1} obtemos
V_{2}=18\pi.

Resposta

V_{1}=18\pi
V_{2}=18\pi

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