Esboce o gráfico e determine o limite indicado, se ele existir; se o limite não existir dê a razão.
a) f(x)=\left\{\begin{array}{l}2, \text { se } x<1 \\\\ -1, \text { se } x=1 \\\\ -3, \text { se } 1<x\end{array}\right.
b) g(s)=\left\{\begin{array}{l}s+3, \text { se } s \leq-2 \\\\ 3-s, \text { se }-2<s\end{array}\right.
c) f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, \text { se } s \leq 2 \\\\ 8-2 x, \text { se } 2<x\end{array}\right.
d) g(t)=\left\{\begin{array}{l}3+t^{2}, \text { se } t<-2 \\\\ 0, \text { se } t=-2 \\\\ 11-t^{2}, \text { se }-2<t\end{array}\right.
i) \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)
i) \lim _{s \rightarrow-2^{+}} g(s)
i) \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
i) \lim _{t \rightarrow-2^{+}} g(t)
ii) \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)
ii) \lim _{s \rightarrow-2^{-}} g(s)
ii) \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
ii) \lim _{t \rightarrow-2^{-}} g(t)
iii) \lim _{x \rightarrow 1} f(x)
iii) \lim _{s \rightarrow-2} g(s)
iii) \lim _{x \rightarrow 2} f(x)
iii) \lim _{t \rightarrow-2} g(t)

Passo 1

O enunciado nos dá quatro funções definidas por partes e pede para esboçar o gráfico de cada uma e calcular os limites laterais (à direita e à esquerda) e o limite bilateral no ponto onde muda a definição. O conteúdo é limites de funções e continuidade em pontos de descontinuidade geométricos. Vamos usar a interpretação de cada ramo no gráfico e a definição de limite lateral.

Passo 2

Para a função
f(x)=\begin{cases} 2, & x<1,\\\\ -1, & x=1,\\\\ -3, & x>1, \end{cases}
o esboço é: reta horizontal em y=2 para x<1 com ponto aberto em (1,2); ponto isolado em (1,-1); reta horizontal em y=-3 para x>1 com ponto aberto em (1,-3).
— O limite à direita em x=1 é o valor do ramo x>1, logo
\lim_{x\to1^+}f(x)=-3.
— O limite à esquerda em x=1 é o valor do ramo x<1, logo
\lim_{x\to1^-}f(x)=2.
— Como \lim_{x\to1^-}f(x)\neq\lim_{x\to1^+}f(x), o limite bilateral não existe.

Passo 3

Para a função
g(s)=\begin{cases} s+3, & s\le -2,\\\\ 3 - s, & s> -2, \end{cases}
o gráfico é a reta de coeficiente 1 até s=-2 com ponto fechado em (-2,1), e a reta de coeficiente -1 para s>-2 com ponto aberto em (-2,5).
— O limite à direita em s=-2 vem de 3-s, logo
\lim_{s\to-2^+}g(s)=3-(-2)=5.
— O limite à esquerda em s=-2 vem de s+3, logo
\lim_{s\to-2^-}g(s)=-2+3=1.
— Como 1\neq5, o limite bilateral \lim_{s\to-2}g(s) não existe.

Passo 4

Para a função
f(x)=\begin{cases} x^2, & x\le 2,\\\\ 8-2x, & x>2, \end{cases}
o gráfico é a parábola y=x^2 até x=2 com ponto fechado em (2,4), e a reta y=8-2x para x>2 com ponto aberto em (2,4).
— O limite à direita em x=2 é
\lim_{x\to2^+}f(x)=8-2\cdot2=4.
— O limite à esquerda em x=2 é
\lim_{x\to2^-}f(x)=2^2=4.
— Como ambos coincidem, o limite bilateral existe e vale
\lim_{x\to2}f(x)=4.

Passo 5

Para a função
g(t)=\begin{cases} 3+t^2, & t< -2,\\\\ 0, & t=-2,\\\\ 11-t^2, & t> -2, \end{cases}
o gráfico é a parábola y=3+t^2 para t<-2 com ponto aberto em (-2,7), ponto isolado em (-2,0), e a parábola invertida y=11-t^2 para t>-2 com ponto aberto em (-2,7).
— O limite à direita em t=-2 é
\lim_{t\to-2^+}g(t)=11-(-2)^2=7.
— O limite à esquerda em t=-2 é
\lim_{t\to-2^-}g(t)=3+(-2)^2=7.
— Como as duas laterais dão 7, o limite bilateral existe e vale
\lim_{t\to-2}g(t)=7.

Resposta

a) \lim_{x\to1^+}f(x)=-3, \lim_{x\to1^-}f(x)=2, \lim_{x\to1}f(x) não existe (razão: limites laterais diferentes).
b) \lim_{s\to-2^+}g(s)=5, \lim_{s\to-2^-}g(s)=1, \lim_{s\to-2}g(s) não existe (razão: limites laterais diferentes).
c) \lim_{x\to2^+}f(x)=4, \lim_{x\to2^-}f(x)=4, \lim_{x\to2}f(x)=4.
d) \lim_{t\to-2^+}g(t)=7, \lim_{t\to-2^-}g(t)=7, \lim_{t\to-2}g(t)=7.

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