(2,0) Determine as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior área com volume total de 32 \mathrm{~m}^{3}.

Passo 1

Vamos chamar as arestas da base de x e y e a altura de h.
O volume é dado por
V = x\,y\,h = 32.
A área total da superfície (base sem tampa mais quatro laterais) é
A = x\,y \;+\; 2\,x\,h \;+\; 2\,y\,h.

Passo 2

Da restrição x\,y\,h=32 isolamos
h = \frac{32}{x\,y}
e substituímos em A:
A(x,y) = x\,y \;+\;2\,x\cdot\frac{32}{x\,y}\;+\;2\,y\cdot\frac{32}{x\,y} = x\,y \;+\;\frac{64}{y}\;+\;\frac{64}{x}.

Passo 3

Para ver se existe máximo finito, note que, por exemplo, ao fazermos x\to0^+ com y fixo, o termo \tfrac{64}{x} tende a +\infty. Logo
\lim_{x\to0^+}A(x,y)=+\infty,
e analogamente para y\to0^+. Portanto a área pode crescer sem limite e não existe valor máximo finito de A.

Resposta

Não há dimensões que maximizem a área total, pois a área tende a infinito quando se aproxima de zero qualquer aresta da base.

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