Calcule
, sendo
dada por:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
para a função dada
.
Informações relevantes fornecidas: a função polinomial e o limite para
da diferença incremental
.
A pergunta concreta é: calcular esse limite como função de .
Informações relevantes fornecidas: a função polinomial
A pergunta concreta é: calcular esse limite como função de
Passo 2
O que esse limite representa e por que vamos usá-lo.
Esse limite é a definição (pela diferença incremental) da derivada de no ponto
. Ou seja, se o limite existe, ele é exatamente
. A definição é:
Esse limite é a definição (pela diferença incremental) da derivada de
Aqui
é a diferença pequena no domínio (quanto
tende a
, estamos calculando a variação instantânea de
em
). Vou usar essa definição diretamente — é a forma que cai em prova e ensina por quê as contas funcionam.
Passo 3
Calcular
substituindo
na expressão de
.
Temos
Temos
Agora expandimos
. Pelo binômio de Newton ou expansão conhecida,
Portanto
Passo 4
Formar o numerador
e simplificar.
Sabemos . Então
Sabemos
Agora observe que
cancela com
e
cancela com
. Restam os termos que contêm
:
Passo 5
Fatorar
no numerador (passo-chave para cancelar com o denominador).
Todos os termos no numerador têm fator , então
Todos os termos no numerador têm fator
Dividindo pelo
do denominador obtemos a expressão dentro do limite:
Passo 6
Tomar o limite quando
.
Usamos que limites somam e que polinômios são contínuos, então podemos substituir na expressão em que
aparece de forma polinomial. Assim
Usamos que limites somam e que polinômios são contínuos, então podemos substituir
Portanto o limite pedido existe e vale
.
Passo 7
Verificação rápida com uma regra mais curta (confirmação): a regra do poder para derivadas diz que
. Aplicando termo a termo: derivada de
é
e derivada de
é
. Somando dá
, que coincide com o resultado obtido pela definição por limite — ótimo sinal de que está certo!