Calcule \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}, sendo f dada por:
f(x)=-x^{3}+2 x

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
para a função dada \,f(x) = -x^{3} + 2x.
Informações relevantes fornecidas: a função polinomial \,f(x) = -x^{3} + 2x e o limite para \,h \to 0 da diferença incremental \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
A pergunta concreta é: calcular esse limite como função de \,x.

Passo 2

O que esse limite representa e por que vamos usá-lo.
Esse limite é a definição (pela diferença incremental) da derivada de \,f no ponto \,x. Ou seja, se o limite existe, ele é exatamente \,f'(x). A definição é:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui \,h é a diferença pequena no domínio (quanto \,h tende a \,0, estamos calculando a variação instantânea de \,f em \,x). Vou usar essa definição diretamente — é a forma que cai em prova e ensina por quê as contas funcionam.

Passo 3

Calcular \,f(x+h) substituindo \,x+h na expressão de \,f.
Temos
f(x+h) = -(x+h)^{3} + 2(x+h).
Agora expandimos (x+h)^{3}. Pelo binômio de Newton ou expansão conhecida,
(x+h)^{3} = x^{3} + 3x^{2}h + 3x h^{2} + h^{3}.
Portanto
f(x+h) = -\bigl(x^{3} + 3x^{2}h + 3x h^{2} + h^{3}\bigr) + 2x + 2h.

Passo 4

Formar o numerador \,f(x+h)-f(x) e simplificar.
Sabemos \,f(x)=-x^{3}+2x. Então
\begin{aligned} f(x+h)-f(x) &= \bigl[-(x^{3} + 3x^{2}h + 3x h^{2} + h^{3}) + 2x + 2h\bigr] - \bigl(-x^{3}+2x\bigr)\\[6pt] &= -x^{3} - 3x^{2}h - 3x h^{2} - h^{3} + 2x + 2h + x^{3} - 2x. \end{aligned}
Agora observe que -x^{3} cancela com +x^{3} e +2x cancela com -2x. Restam os termos que contêm \,h:
f(x+h)-f(x) = -3x^{2}h - 3x h^{2} - h^{3} + 2h.]

Passo 5

Fatorar \,h no numerador (passo-chave para cancelar com o denominador).
Todos os termos no numerador têm fator \,h, então
f(x+h)-f(x) = h\bigl(-3x^{2} - 3x h - h^{2} + 2\bigr).
Dividindo pelo \,h do denominador obtemos a expressão dentro do limite:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h} = -3x^{2} - 3x h - h^{2} + 2.

Passo 6

Tomar o limite quando \,h \to 0.
Usamos que limites somam e que polinômios são contínuos, então podemos substituir \,h=0 na expressão em que \,h aparece de forma polinomial. Assim
\lim_{h\to 0}\bigl(-3x^{2} - 3x h - h^{2} + 2\bigr) = -3x^{2} - 3x\cdot 0 - 0^{2} + 2 = -3x^{2} + 2.
Portanto o limite pedido existe e vale -3x^{2}+2.

Passo 7

Verificação rápida com uma regra mais curta (confirmação): a regra do poder para derivadas diz que \dfrac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n x^{n-1}. Aplicando termo a termo: derivada de -x^{3} é -3x^{2} e derivada de 2x é 2. Somando dá -3x^{2}+2, que coincide com o resultado obtido pela definição por limite — ótimo sinal de que está certo!

Resposta

-3x^{2}+2

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