3.2. Calcule

\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}
Solução. Ao substituir x=2, obtemos 0 / 0, uma forma indeterminada. Fatoramos o numerador:
x^{2}-5 x+6=(x-2)(x-3)
Então, para x \neq 2,
\frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3 .
Assim,
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5 x+6}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2}(x-3)=2-3=-1
Logo,
-1 .

Passo 1

O enunciado pede que se calcule o seguinte limite:
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{2}-5x+6}{x-2}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O numerador é o polinômio x^{2}-5x+6.
  • O denominador é x-2.
  • O ponto de interesse é x=2.
    Nada mais foi dado (não há figura nem outras condições).

Passo 2

Escolha do método: vou usar fatoração do numerador e simplificação algébrica.
Por que esse método? Porque temos um quociente de polinômios onde o denominador é linear (x-2) — frequentemente nesses casos o numerador compartilha esse fator e a expressão pode ser simplificada, transformando a indeterminação em uma função mais simples cuja limite é direto. Métodos alternativos (por exemplo, regra de L’Hôpital) existem, mas aqui a fatoração é mais simples e totalmente elementar.

Passo 3

Lembrando como fatorar um quadrático do tipo \,x^{2}+bx+c: procurar dois números cuja soma seja b e cujo produto seja c. Esses números permitem escrever o polinômio como produto de dois termos lineares.
Aplicando isso a \,x^{2}-5x+6: precisamos de dois números que multipliquem para 6 e somem para -5. Esses números são -2 e -3, pois (-2)\cdot(-3)=6 e (-2)+(-3)=-5. Portanto:
x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3).

Passo 4

Reescrevendo a expressão do limite usando a fatoração obtida:
\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}.
Aqui é importante observar o domínio: a igualdade por simplificação só vale para x\neq2 (porque em x=2 o denominador original é zero). Para x\neq2 podemos cancelar o fator comum (x-2) e obter:
\frac{(x-2)(x-3)}{x-2}=x-3\qquad\text{(para \(x\neq2\))}.

Passo 5

Conceito de limite usado: o limite \lim_{x\to2} f(x) depende apenas do comportamento de f(x) para x próximos de 2, e não do valor de f exatamente em 2. Como para todos os x próximos de 2 (exceto exatamente 2) a expressão original coincide com x-3, temos
\lim_{x\rightarrow 2}\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=\lim_{x\rightarrow 2}(x-3).
Também uso a propriedade de que polinômios são funções contínuas, então \lim_{x\rightarrow 2}(x-3)=(2)-3.

Passo 6

Calcule o limite da função simplificada:
\lim_{x\rightarrow 2}(x-3)=2-3=-1.

Passo 7

Interpretação final: a indeterminação inicial (caso alguém substitua diretamente e note a forma 0/0) foi removida pela simplificação algébrica; o limite existe e vale -1. Continue firme — essas fatorações aparecem muito em prova e valem a pena decorar o padrão!

Resposta

-1

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