3.2. Calcule
Solução. Ao substituir
, obtemos
, uma forma indeterminada. Fatoramos o numerador:
Então, para
,
Assim,
Logo,
Passo 1
O enunciado pede que se calcule o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é
. - O ponto de interesse é
.
Nada mais foi dado (não há figura nem outras condições).
Passo 2
Escolha do método: vou usar fatoração do numerador e simplificação algébrica.
Por que esse método? Porque temos um quociente de polinômios onde o denominador é linear — frequentemente nesses casos o numerador compartilha esse fator e a expressão pode ser simplificada, transformando a indeterminação em uma função mais simples cuja limite é direto. Métodos alternativos (por exemplo, regra de L’Hôpital) existem, mas aqui a fatoração é mais simples e totalmente elementar.
Por que esse método? Porque temos um quociente de polinômios onde o denominador é linear
Passo 3
Lembrando como fatorar um quadrático do tipo
: procurar dois números cuja soma seja
e cujo produto seja
. Esses números permitem escrever o polinômio como produto de dois termos lineares.
Aplicando isso a
: precisamos de dois números que multipliquem para
e somem para
. Esses números são
e
, pois
e
. Portanto:
Passo 4
Reescrevendo a expressão do limite usando a fatoração obtida:
Aqui é importante observar o domínio: a igualdade por simplificação só vale para
(porque em
o denominador original é zero). Para
podemos cancelar o fator comum
e obter:
Passo 5
Conceito de limite usado: o limite
depende apenas do comportamento de
para
próximos de
, e não do valor de
exatamente em
. Como para todos os
próximos de
(exceto exatamente
) a expressão original coincide com
, temos
Também uso a propriedade de que polinômios são funções contínuas, então
.
Passo 6
Calcule o limite da função simplificada:
Passo 7
Interpretação final: a indeterminação inicial (caso alguém substitua diretamente e note a forma
) foi removida pela simplificação algébrica; o limite existe e vale
. Continue firme — essas fatorações aparecem muito em prova e valem a pena decorar o padrão!