3.1. Calcule

\lim _{x \rightarrow 3}\left(2 x^{2}-x+1\right)
Solução. Como polinômios são contínuos em todo ponto real, podemos substituir diretamente x=3 :
\lim _{x \rightarrow 3}\left(2 x^{2}-x+1\right)=2 \cdot 3^{2}-3+1
Portanto,
2 \cdot 9-3+1=18-3+1=16
Logo,
16 .

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 3:
\lim_{x\to 3}\left(2x^{2}-x+1\right).
Informações dadas: a expressão dentro do limite é o polinômio 2x^{2}-x+1. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Ideia geral (explicação didática): para avaliar \lim_{x\to a} f(x) muitas vezes podemos simplesmente substituir x=a quando a função f for contínua em a. Vou explicar o que significa ser contínua e por que podemos substituir diretamente neste caso.

Passo 3

O que é continuidade (explicação simples): dizer que uma função f é contínua em a significa, de forma intuitiva, que não há “buracos” ou “saltos” em a; formalmente,
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Assim, se soubermos que f é contínua em a, o limite é exatamente o valor da função em a.

Passo 4

Por que polinômios são contínuos (explicação passo a passo): funções simples como a função constante g(x)=c e a função identidade h(x)=x são contínuas. Se duas funções são contínuas, então suas somas, produtos e multiplicações por constantes também são contínuas. Um polinômio é obtido a partir de operações de soma e produto aplicadas à função identidade e constantes (por exemplo, 2x^{2} é 2 vezes x vezes x, e -x é -1 vezes x). Portanto qualquer polinômio é contínuo em todo ponto real. Conclusão: o polinômio 2x^{2}-x+1 é contínuo em x=3.

Passo 5

Aplicando continuidade: como 2x^{2}-x+1 é contínuo em x=3, vale
\lim_{x\to 3}\left(2x^{2}-x+1\right)=2\cdot 3^{2}-3+1.

Passo 6

Cálculo passo a passo da expressão: primeiro calcule 3^{2}:
3^{2}=9.

Passo 7

Continuando as contas:
2\cdot 3^{2}=2\cdot 9=18.
Agora some e subtraia os termos restantes:
18-3+1.

Passo 8

Finalize a aritmética:
18-3=15, \qquad 15+1=16.
Portanto o valor do limite é 16.

Resposta

16

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