Calcule \lim _{x \rightarrow 8} \frac{\sqrt[3]{x^{2}}-4 \sqrt[3]{x}+4}{(x-8)^{2}}
Escolha uma opção:
a. \frac{1}{132}.
b. \frac{1}{144}.
c. -\infty.
d. -\frac{2 \sqrt{2}}{3}.
e. \frac{1}{8}.

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to8}\frac{\sqrt[3]{x^{2}}-4\sqrt[3]{x}+4}{(x-8)^{2}},
que é uma forma indeterminada \tfrac{0}{0} quando x\to8. Vamos usar a substituição
t = \sqrt[3]{x},
que transforma x=t^{3} e leva x\to8 em t\to2.

Passo 2

Reescrevendo em função de t, o numerador vira
t^{2} - 4\,t + 4
e o denominador é
(x-8)^{2} = (t^{3}-8)^{2}.

Passo 3

Fatoramos cada parte:
t^{2} - 4t + 4 = (t-2)^{2},
t^{3}-8 = (t-2)\,(t^{2}+2t+4),
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(t^{3}-8)^{2} = (t-2)^{2}\,(t^{2}+2t+4)^{2}.
Assim a expressão simplifica para
\frac{(t-2)^{2}}{(t-2)^{2}\,(t^{2}+2t+4)^{2}} = \frac{1}{(t^{2}+2t+4)^{2}}.

Passo 4

Basta agora avaliar em t=2:
t^{2}+2t+4 = 2^{2}+2\cdot2+4 = 4+4+4 = 12,
portanto
\lim_{t\to2}\frac{1}{(t^{2}+2t+4)^{2}} = \frac{1}{12^{2}} = \frac{1}{144}.

Resposta

b. \displaystyle \frac{1}{144}.

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