Seja \mathbf{f}: D \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
\mathbf{f}(x, y)=\frac{1}{\sqrt{x+y+1}} \mathbf{i}+\frac{\operatorname{sen}(y-1)}{y-1} \mathbf{j}+\frac{(x-2)^{3}}{(x-2)^{2}+(y-1)^{2}} \mathbf{k}
(a) Obtenha o domínio D \subset \mathbb{R}^{2} de \mathbf{f}.
(b) Calcule
\lim _{(x, y) \rightarrow(2,1)} \mathbf{f}(x, y)

Passo 1

O enunciado define \mathbf{f}:D\to\mathbb{R}^3 dada por
\mathbf{f}(x,y) =\frac{1}{\sqrt{x+y+1}}\,\mathbf{i} +\frac{\sin(y-1)}{y-1}\,\mathbf{j} +\frac{(x-2)^3}{(x-2)^2+(y-1)^2}\,\mathbf{k}.
Precisamos (a) achar o domínio D\subset\mathbb{R}^2 e (b) calcular o limite \lim_{(x,y)\to(2,1)}\mathbf{f}(x,y). Para isso vamos usar restrições de raízes e denominadores e o cálculo de limites em várias variáveis, componente a componente.

Passo 2

Analisando cada componente:
  1. \displaystyle\frac{1}{\sqrt{x+y+1}} exige x+y+1>0.
  2. \displaystyle\frac{\sin(y-1)}{y-1} exige y-1\neq0.
  3. \displaystyle\frac{(x-2)^3}{(x-2)^2+(y-1)^2} exige (x-2)^2+(y-1)^2\neq0, isto é, (x,y)\neq(2,1).
    Como a segunda condição já exclui toda a reta y=1, o ponto (2,1) fica excluído automaticamente. Logo
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y+1>0,\;y\neq1\}.

Passo 3

Vamos calcular \displaystyle\lim_{(x,y)\to(2,1)}\mathbf{f}(x,y) componente a componente:
  • Para a primeira:
\lim_{(x,y)\to(2,1)}\frac{1}{\sqrt{x+y+1}} =\frac{1}{\sqrt{2+1+1}} =\frac12.
  • Para a segunda usam­os \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 com t=y-1:
\lim_{(x,y)\to(2,1)}\frac{\sin(y-1)}{y-1}=1.
  • Para a terceira, defina h=x-2, k=y-1. Então
\frac{(x-2)^3}{(x-2)^2+(y-1)^2} =\frac{h^3}{h^2+k^2}.
Em coordenadas polares h=r\cos\theta, k=r\sin\theta isso vira
\frac{r^3\cos^3\theta}{r^2} =r\cos^3\theta
que tende a 0 quando r\to0. Logo o limite é 0.

Passo 4

Reunindo as três componentes, o limite do vetor é
\lim_{(x,y)\to(2,1)}\mathbf{f}(x,y) =\tfrac12\,\mathbf{i}+1\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}.

Resposta

(a)
D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x+y+1>0,\;y\neq1\}.
(b)
\lim_{(x,y)\to(2,1)}\mathbf{f}(x,y) =\frac12\,\mathbf{i}+\mathbf{j}.

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