(a) Utilizando derivação usual, obtenha a matriz Jacobiana de \mathbf{f} em (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(b) Utilizando as condições suficientes de diferenciabilidade para cada função escalar coordenada de \mathbf{f}, mostre que \mathbf{f} é diferenciável em todo o \mathbb{R}^{2}.
(c) Sejam \mathbf{v}=4 \mathbf{i}+3 \mathbf{j} e \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,2).
(a) Pede-se a matriz Jacobiana J_{\mathbf{f}}(x,y), isto é, as derivadas parciais \frac{\partial f_i}{\partial x} e \frac{\partial f_i}{\partial y}.
(b) Usar condições suficientes para mostrar que cada f_i é diferenciável em \mathbb{R}^2.
(c) Calcular a derivada direcional de \mathbf{f} em (1,2) na direção \mathbf{v}=(4,3), que é D_{\mathbf{v}}\mathbf{f}(1,2)=J_{\mathbf{f}}(1,2)\,\mathbf{v}.
Cada f_i é composição de funções elementares (polinômios, exponencial, logaritmo, quociente) que são C^\infty em todo o domínio onde estão definidas. Como não há singularidade em \mathbb{R}^2 (denominadores nunca se anulam, argumentos de log são sempre positivos), cada f_i é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. Portanto \mathbf{f} é diferenciável em \mathbb{R}^2.
Passo 7
Em (x_0,y_0)=(1,2), primeiro avaliamos as parciais:
(b) Cada coordenada de \mathbf{f} é composição de funções C^\infty sem singularidades em \mathbb{R}^2. Logo \mathbf{f} é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
(c)