Seja \mathbf{f}: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} tal que
f(x, y)=e^{\frac{x+y^{3}}{x^{2}+1}} \mathbf{i}+\ln \left(x^{4}+y^{4}+1\right) \mathbf{j}+\frac{x+3 y}{y^{2}+5} \mathbf{k}
(a) Utilizando derivação usual, obtenha a matriz Jacobiana de \mathbf{f} em (x, y) \in \mathbb{R}^{2}.
(b) Utilizando as condições suficientes de diferenciabilidade para cada função escalar coordenada de \mathbf{f}, mostre que \mathbf{f} é diferenciável em todo o \mathbb{R}^{2}.
(c) Sejam \mathbf{v}=4 \mathbf{i}+3 \mathbf{j} e \left(x_{0}, y_{0}\right)=(1,2).
Utilizando derivação usual, obtenha
\frac{\partial \mathbf{f}\left(x_{0}, y_{0}\right)}{\partial \mathbf{v}} .

Passo 1

O enunciado define \mathbf{f}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3 por
\mathbf{f}(x,y)=\underbrace{e^{\frac{x+y^3}{x^2+1}}}_{f_1(x,y)}\mathbf{i} +\underbrace{\ln\bigl(x^4+y^4+1\bigr)}_{f_2(x,y)}\mathbf{j} +\underbrace{\frac{x+3y}{y^2+5}}_{f_3(x,y)}\mathbf{k}.
(a) Pede-se a matriz Jacobiana J_{\mathbf{f}}(x,y), isto é, as derivadas parciais \frac{\partial f_i}{\partial x} e \frac{\partial f_i}{\partial y}.
(b) Usar condições suficientes para mostrar que cada f_i é diferenciável em \mathbb{R}^2.
(c) Calcular a derivada direcional de \mathbf{f} em (1,2) na direção \mathbf{v}=(4,3), que é D_{\mathbf{v}}\mathbf{f}(1,2)=J_{\mathbf{f}}(1,2)\,\mathbf{v}.

Passo 2

Calcular as parciais de
f_1(x,y)=\exp\!\bigl(g(x,y)\bigr), \quad g(x,y)=\frac{x+y^3}{x^2+1}.
Pela regra da cadeia:
\frac{\partial f_1}{\partial x} =f_1\cdot\frac{\partial g}{\partial x}, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y} =f_1\cdot\frac{\partial g}{\partial y}.
Usando a derivada de quociente,
\frac{\partial g}{\partial x} =\frac{(1)(x^2+1)-(x+y^3)(2x)}{(x^2+1)^2} =\frac{1 - x^2 - 2xy^3}{(x^2+1)^2}, \quad \frac{\partial g}{\partial y} =\frac{3y^2}{x^2+1}.
Logo,
\frac{\partial f_1}{\partial x} =e^{\frac{x+y^3}{x^2+1}} \;\frac{1 - x^2 - 2x y^3}{(x^2+1)^2}, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y} =e^{\frac{x+y^3}{x^2+1}} \;\frac{3y^2}{x^2+1}.

Passo 3

Calcular as parciais de
f_2(x,y)=\ln\bigl(h(x,y)\bigr), \quad h(x,y)=x^4+y^4+1.
Pela cadeia e derivada de soma potência,
\frac{\partial f_2}{\partial x} =\frac{1}{h}\,\frac{\partial h}{\partial x} =\frac{4x^3}{x^4+y^4+1}, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y} =\frac{4y^3}{x^4+y^4+1}.

Passo 4

Calcular as parciais de
f_3(x,y)=\frac{x+3y}{y^2+5} =\frac{u(x,y)}{v(y)}, \quad u(x,y)=x+3y,\;v(y)=y^2+5.
Pela regra do quociente,
\frac{\partial f_3}{\partial x} =\frac{1}{v(y)} =\frac{1}{y^2+5}, \quad \frac{\partial f_3}{\partial y} =\frac{3\,v(y)-u(x,y)\,2y}{[v(y)]^2} =\frac{3(y^2+5)-2y(x+3y)}{(y^2+5)^2} =\frac{15-3y^2-2xy}{(y^2+5)^2}.

Passo 5

As seis derivadas parciais compõem a Jacobiana J_{\mathbf{f}}(x,y), matriz 3\times2:
J_{\mathbf{f}}(x,y) =\begin{pmatrix} \displaystyle e^{\frac{x+y^3}{x^2+1}}\frac{1 - x^2 - 2xy^3}{(x^2+1)^2} & \displaystyle e^{\frac{x+y^3}{x^2+1}}\frac{3y^2}{x^2+1} \\[1em] \displaystyle \frac{4x^3}{x^4+y^4+1} & \displaystyle \frac{4y^3}{x^4+y^4+1} \\[1em] \displaystyle \frac{1}{y^2+5} & \displaystyle \frac{15-3y^2-2xy}{(y^2+5)^2} \end{pmatrix}.]

Passo 6

Cada f_i é composição de funções elementares (polinômios, exponencial, logaritmo, quociente) que são C^\infty em todo o domínio onde estão definidas. Como não há singularidade em \mathbb{R}^2 (denominadores nunca se anulam, argumentos de log são sempre positivos), cada f_i é diferenciável em todo \mathbb{R}^2. Portanto \mathbf{f} é diferenciável em \mathbb{R}^2.

Passo 7

Em (x_0,y_0)=(1,2), primeiro avaliamos as parciais:
Para f_1: \displaystyle x^2+1=2,\;y^3=8\implies g(1,2)=\tfrac{1+8}{2}=\tfrac92,\; f_1(1,2)=e^{9/2}. \displaystyle \frac{\partial f_1}{\partial x}(1,2) =e^{9/2}\frac{1-1-16}{4} =-4e^{9/2}, \quad \frac{\partial f_1}{\partial y}(1,2) =e^{9/2}\frac{3\cdot4}{2} =6e^{9/2}. Para f_2: \;x^4+y^4+1=1+16+1=18\implies \displaystyle \frac{\partial f_2}{\partial x}(1,2)=\frac{4\cdot1}{18}=\frac{2}{9}, \quad \frac{\partial f_2}{\partial y}(1,2)=\frac{4\cdot8}{18}=\frac{16}{9}. Para f_3: \;y^2+5=9\implies \displaystyle \frac{\partial f_3}{\partial x}(1,2)=\frac{1}{9}, \quad \frac{\partial f_3}{\partial y}(1,2) =\frac{15-3\cdot4-2\cdot1\cdot2}{9^2} =\frac{-1}{81}. Assim
J_{\mathbf{f}}(1,2) =\begin{pmatrix} -4e^{9/2} & 6e^{9/2}\\\\ 2/9 & 16/9\\\\ 1/9 & -1/81 \end{pmatrix}.
Para \mathbf{v}=(4,3),
D_{\mathbf{v}}\mathbf{f}(1,2) =J_{\mathbf{f}}(1,2)\begin{pmatrix}4\\\ 3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -4e^{9/2}\cdot4+6e^{9/2}\cdot3\\\ \frac{2}{9}\cdot4+\frac{16}{9}\cdot3\\\ \frac{1}{9}\cdot4+(-\tfrac{1}{81})\cdot3 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2e^{9/2}\\[0.5em] 56/9\\[0.5em] 11/27 \end{pmatrix}.]

Resposta

(a)
J_{\mathbf{f}}(x,y) =\begin{pmatrix} \displaystyle e^{\frac{x+y^3}{x^2+1}}\frac{1 - x^2 - 2xy^3}{(x^2+1)^2} & \displaystyle e^{\frac{x+y^3}{x^2+1}}\frac{3y^2}{x^2+1} \\[1em] \displaystyle \frac{4x^3}{x^4+y^4+1} & \displaystyle \frac{4y^3}{x^4+y^4+1} \\[1em] \displaystyle \frac{1}{y^2+5} & \displaystyle \frac{15-3y^2-2xy}{(y^2+5)^2} \end{pmatrix}.
(b) Cada coordenada de \mathbf{f} é composição de funções C^\infty sem singularidades em \mathbb{R}^2. Logo \mathbf{f} é diferenciável em todo \mathbb{R}^2.
(c)
D_{\mathbf{v}}\mathbf{f}(1,2) =\begin{pmatrix}2e^{9/2}\\\ 56/9\\\ 11/27\end{pmatrix}.]

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