\int \frac{1}{2}\left(\operatorname{cossec}^{2} x-\operatorname{cossec} x \operatorname{cotg} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{2}\bigl(\csc^{2}x - \csc x\,\cot x\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar a linearidade da integral e conhecer as antiderivadas de \csc^{2}x e de \csc x\,\cot x.

Passo 2

Pela linearidade, fatoramos \tfrac12 e separamos em duas integrais:
\int \frac{1}{2}\bigl(\csc^{2}x - \csc x\,\cot x\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int \csc^{2}x\,dx \;-\;\frac{1}{2}\int \csc x\,\cot x\,dx.

Passo 3

Recordando as antiderivadas básicas:
\int \csc^{2}x\,dx = -\cot x + C_{1}, \qquad \int \csc x\,\cot x\,dx = -\csc x + C_{2}.

Passo 4

Substituindo esses resultados:
\frac{1}{2}\int \csc^{2}x\,dx -\frac{1}{2}\int \csc x\,\cot x\,dx = \frac{1}{2}\bigl(-\cot x\bigr) -\frac{1}{2}\bigl(-\csc x\bigr) + C = \frac{-\cot x + \csc x}{2} + C.

Resposta

\frac{\csc x - \cot x}{2} + C.

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