\int\left(4 \operatorname{sec} x \operatorname{tg} x-2 \operatorname{sec} ^{2} x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\bigl(4\operatorname{sec} x\tan x - 2\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx.
O conteúdo envolvido é reconhecimento de primitivas de funções trigonométricas usando que \displaystyle\frac{d}{dx}(\operatorname{sec} x)=\operatorname{sec} x\tan x e \displaystyle\frac{d}{dx}(\tan x)=\operatorname{sec}^2 x.

Passo 2

Usamos a linearidade da integral para separar os termos:
\int\bigl(4\operatorname{sec} x\tan x - 2\operatorname{sec}^2 x\bigr)\,dx =4\int\operatorname{sec} x\tan x\,dx \;-\;2\int\operatorname{sec}^2 x\,dx.

Passo 3

Aplicamos as primitivas conhecidas:
\int\operatorname{sec} x\tan x\,dx=\operatorname{sec} x \quad\text{e}\quad \int\operatorname{sec}^2 x\,dx=\tan x.

Passo 4

Substituindo na expressão e colocando a constante C, temos
4\int\operatorname{sec} x\tan x\,dx - 2\int\operatorname{sec}^2 x\,dx =4\operatorname{sec} x - 2\tan x + C.

Resposta

4\operatorname{sec} x - 2\tan x + C

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