Teste a natureza da série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n}+1}{3^{n}}, em caso afirmativo encontre a sua soma.

Passo 1

O enunciado pede para testar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+1}{3^{n}}
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal é o estudo de séries geométricas, que são da forma \sum_{n=1}^\infty ar^{n-1} ou \sum_{n=1}^\infty r^n, convergindo quando |r|<1.

Passo 2

Vamos escrever a série como soma de duas séries mais simples:
\frac{2^{n}+1}{3^{n}} =\frac{2^{n}}{3^{n}}+\frac{1}{3^{n}}
Logo,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}+1}{3^{n}} =\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} +\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}.

Passo 3

Cada uma das somas à direita é uma série geométrica da forma \sum_{n=1}^\infty r^n. Sabemos que
\sum_{n=1}^{\infty}r^n =\frac{r}{1-r} \quad\text{converge se, e só se, }|r|<1.ó
Aqui temos |2/3|<1 e |1/3|<1, então ambas convergem, e portanto a série original converge.

Passo 4

Calcular a primeira soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n} =\frac{\tfrac{2}{3}}{1-\tfrac{2}{3}} =\frac{\tfrac{2}{3}}{\tfrac{1}{3}} =2.

Passo 5

Calcular a segunda soma:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} =\frac{\tfrac{1}{3}}{1-\tfrac{1}{3}} =\frac{\tfrac{1}{3}}{\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{2}.

Passo 6

A soma total é a soma das duas parcelas:
2 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}.

Resposta

A série converge e sua soma é \displaystyle \frac{5}{2}.

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