Teste a natureza da série
, em caso afirmativo encontre a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede para testar a convergência da série
e, se ela convergir, calcular sua soma. O conteúdo principal é o estudo de séries geométricas, que são da forma
ou
, convergindo quando
.
Passo 2
Vamos escrever a série como soma de duas séries mais simples:
Logo,
Passo 3
Cada uma das somas à direita é uma série geométrica da forma
. Sabemos que
Aqui temos
e
, então ambas convergem, e portanto a série original converge.
Passo 4
Calcular a primeira soma:
Passo 5
Calcular a segunda soma:
Passo 6
A soma total é a soma das duas parcelas:
Resposta
A série converge e sua soma é
.