Determine o domínio de convergência da série: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cdot(x-1)^{n}}{4^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o domínio de convergência da série de potências centrada em x=1:\r
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{4^{n}}.\r
O que vamos usar aqui é o teste da razão para séries de potências, que nos dá o raio de convergência, e depois testar os extremos do intervalo para ver se convergem ou não.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja\r
\;a_n = \frac{(-1)^{n}(x-1)^{n}}{4^{n}}.\r
Então\r
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|\r = \left|\frac{(-1)^{n+1}(x-1)^{n+1}/4^{n+1}}{(-1)^{n}(x-1)^{n}/4^{n}}\right|\r = \left|\frac{x-1}{4}\right|.\r
Para convergência, precisamos de\r
\left|\frac{x-1}{4}\right|<1.

Passo 3

Da desigualdade\r
\left|\frac{x-1}{4}\right|<1\r
segue\r
\lvert x-1\rvert<4.\r
Isso nos dá o intervalo aberto de convergência\r
-3 < x < 5.

Passo 4

Agora testamos os extremos:\r
  1. Em x=-3, temos x-1=-4 e o termo geral vira\r
\frac{(-1)^{n}(-4)^n}{4^n}=\frac{(-1)^n\cdot(-1)^n4^n}{4^n}=1,\r
logo a série é \sum1, que diverge.\r
2. Em x=5, temos x-1=4 e o termo geral é\r
\frac{(-1)^{n}4^n}{4^n}=(-1)^n,\r
cuja soma -1+1-1+1\cdots não converge em sentido usual.

Resposta

O domínio de convergência é (-3,5).

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