Calcule
\lim _{x \rightarrow \infty} 1+\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{2}+4}

Passo 1

O enunciado nos pede o cálculo do limite
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1 + \frac{\sin(x)}{x^2+4}\Bigr).
O conteúdo envolvido é análise de limites de funções, usando propriedades básicas de limites e o Teorema do Confronto (Squeeze Theorem).

Passo 2

Vamos estudar a fração \frac{\sin(x)}{x^2+4}. Sabemos que, para todo x,
-1 \le \sin(x) \le 1.
Como x^2+4>0, ao dividir por x^2+4 obtemos
-\,\frac{1}{x^2+4} \;\le\; \frac{\sin(x)}{x^2+4} \;\le\; \frac{1}{x^2+4}.

Passo 3

Agora calculamos o limite das duas funções extremas:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(-\,\frac{1}{x^2+4}\Bigr) = 0, \quad \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2+4} = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, segue que
\lim_{x\to\infty}\frac{\sin(x)}{x^2+4} = 0.

Passo 5

Finalmente, voltamos à expressão original:
\lim_{x\to\infty}\Bigl(1 + \frac{\sin(x)}{x^2+4}\Bigr) = 1 + 0 = 1.

Resposta

1

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