Determine o raio de convergência das séries.
\sum_{n=0}^{+\infty} n x^{n};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{+\infty}n\,x^{n}.
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para determinar onde ela converge.

Passo 2

Seja a_{n}=n\,x^{n}. Pelo teste da razão, analisamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)\,|x|^{\,n+1}}{n\,|x|^{\,n}} = \lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,\bigl|x\bigr| = \bigl|x\bigr|.
O teste da razão diz que a série converge se L<1, ou seja, se \lvert x\rvert<1. Portanto o raio de convergência é

Resposta

R = 1.

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