Calcule
\lim _{u \rightarrow-\infty} \frac{12 u^{6}+34 u^{3}-1}{-3 u^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando u tende a -\infty:
\lim_{u\to -\infty}\frac{12u^{6}+34u^{3}-1}{-3u^{3}+1}.
Informações dadas que são relevantes:
  • O numerador é o polinômio 12u^{6}+34u^{3}-1.
  • O denominador é o polinômio -3u^{3}+1.
  • Queremos o comportamento da razão desses polinômios quando u fica muito negativo ( u\to -\infty).

Passo 2

Ideia geral (sem assumir que já saiba): quando u tende para \pm\infty, os termos de maior grau em polinômios dominam o comportamento — termos de grau menor tornam-se desprezíveis em comparação. Então é natural comparar os graus do numerador e do denominador:
  • grau do numerador é 6 (termo dominante 12u^6);
  • grau do denominador é 3 (termo dominante -3u^3).
Como o grau do numerador ( 6) é maior que o do denominador ( 3), a razão tende a infinito em módulo. Resta determinar o sinal desse infinito (positivo ou negativo).

Passo 3

Método prático e seguro: dividir numerador e denominador por u^{3} (a maior potência do denominador). Isso transforma a expressão em formas cujos limites são fáceis de avaliar. Aviso técnico: dividir por u^3 é permitido para todos u\neq0; na passagem ao limite para -\infty estamos considerando valores de u com grande módulo, portanto u\neq0.
Façamos a divisão:

Passo 4

Dividindo por u^{3} obtemos
\frac{12u^{6}+34u^{3}-1}{-3u^{3}+1} = \frac{u^{3}\bigl(12u^{3}+34-\dfrac{1}{u^{3}}\bigr)}{u^{3}\bigl(-3+\dfrac{1}{u^{3}}\bigr)} = \frac{12u^{3}+34-\dfrac{1}{u^{3}}}{-3+\dfrac{1}{u^{3}}}.
Esse passo é apenas álgebra: fatorou-se u^3 do numerador e do denominador e cancelou-se (para u\neq0).

Passo 5

Agora analisamos o comportamento dos termos quando u\to -\infty:
\frac{12u^{3}+34-\dfrac{1}{u^{3}}}{-3+\dfrac{1}{u^{3}}}.
Como u\to -\infty temos \dfrac{1}{u^{3}}\to 0. Portanto, na forma limite:
  • o denominador tende para -3;
  • o numerador comporta-se como 12u^{3}+34, sendo que o termo dominante é 12u^{3}.

Passo 6

Tomando o limite com essas observações,
\lim_{u\to -\infty}\frac{12u^{3}+34-\dfrac{1}{u^{3}}}{-3+\dfrac{1}{u^{3}}} = \lim_{u\to -\infty}\frac{12u^{3}+o(u^{3})}{-3+o(1)},
onde o(u^{3}) denota termos que são muito menores que u^{3} quando |u| é grande, e o(1) tende a 0. Assim, a razão comporta-se como
\frac{12u^{3}}{-3} = -4u^{3}
para u de grande módulo.

Passo 7

Agora basta usar o sinal de u^{3} quando u\to -\infty. Como u é muito negativo, u^{3} também é muito negativo (paridade ímpar: a potência 3 preserva o sinal). Logo u^{3}\to -\infty. Então
-4u^{3}\to -4\cdot(-\infty)=+\infty.
Portanto a expressão tende para +\infty.

Passo 8

Resumo intuitivo rápido: o numerador cresce como 12u^{6} e o denominador como -3u^{3}, a razão principal é aproximadamente (12u^{6})/(-3u^{3})=-4u^{3}. Para u\to -\infty, u^{3}\to -\infty, então -4u^{3}\to +\infty. Confirma o resultado anterior.

Resposta

+\infty

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