Calcule
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações dadas que são relevantes:
- O numerador é o polinômio
. - O denominador é o polinômio
. - Queremos o comportamento da razão desses polinômios quando
fica muito negativo ( ).
Passo 2
Ideia geral (sem assumir que já saiba): quando
tende para
, os termos de maior grau em polinômios dominam o comportamento — termos de grau menor tornam-se desprezíveis em comparação. Então é natural comparar os graus do numerador e do denominador:
- grau do numerador é
(termo dominante ); - grau do denominador é
(termo dominante ).
Como o grau do numerador (
) é maior que o do denominador (
), a razão tende a infinito em módulo. Resta determinar o sinal desse infinito (positivo ou negativo).
Passo 3
Método prático e seguro: dividir numerador e denominador por
(a maior potência do denominador). Isso transforma a expressão em formas cujos limites são fáceis de avaliar. Aviso técnico: dividir por
é permitido para todos
; na passagem ao limite para
estamos considerando valores de
com grande módulo, portanto
.
Façamos a divisão:
Passo 4
Dividindo por
obtemos
Esse passo é apenas álgebra: fatorou-se
do numerador e do denominador e cancelou-se (para
).
Passo 5
Agora analisamos o comportamento dos termos quando
:
Como
temos
. Portanto, na forma limite:
- o denominador tende para
; - o numerador comporta-se como
, sendo que o termo dominante é .
Passo 6
Tomando o limite com essas observações,
onde
denota termos que são muito menores que
quando
é grande, e
tende a
. Assim, a razão comporta-se como
para
de grande módulo.
Passo 7
Agora basta usar o sinal de
quando
. Como
é muito negativo,
também é muito negativo (paridade ímpar: a potência
preserva o sinal). Logo
. Então
Portanto a expressão tende para
.
Passo 8
Resumo intuitivo rápido: o numerador cresce como
e o denominador como
, a razão principal é aproximadamente
. Para
,
, então
. Confirma o resultado anterior.