Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende para menos infinito:
Informações dadas:
- A variável
vai para . - A função cujo limite queremos é
.
O objetivo é determinar o comportamento (valor finito,, ou ) desse limite.
Passo 2
Ideia que vamos usar (explicada devagarinho): para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando
fica muito grande. Aqui o termo de maior grau é
. Uma maneira formal de extrair essa dominância é dividir a expressão por
(ou fatorar
). Vou fazer isso passo a passo para não pular nada.
Passo 3
Dividindo a expressão por
(ou fatorando
) obtemos:
Verificação rápida (para ficar tranquilo):
,
,
. Tudo confere.
Passo 4
Agora analisamos o comportamento dos termos dentro do parêntese quando
:
- Para qualquer inteiro
vale , porque o denominador cresce em magnitude e o quociente tende a zero. Em particular e . - Portanto
Passo 5
Saber que o parêntese tende a
e que
tende a
quando
permite concluir o comportamento do produto:
Produto:
. Assim a expressão
tende a
quando
.