Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(2-x-x^{5}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende para menos infinito:
\lim_{x\to -\infty}\left(2 - x - x^{5}\right).
Informações dadas:
  • A variável x vai para -\infty.
  • A função cujo limite queremos é f(x)=2 - x - x^{5}.
    O objetivo é determinar o comportamento (valor finito, +\infty, ou -\infty) desse limite.

Passo 2

Ideia que vamos usar (explicada devagarinho): para polinômios, o termo de maior grau domina o comportamento quando |x| fica muito grande. Aqui o termo de maior grau é -x^{5}. Uma maneira formal de extrair essa dominância é dividir a expressão por x^{5} (ou fatorar x^{5}). Vou fazer isso passo a passo para não pular nada.

Passo 3

Dividindo a expressão por x^{5} (ou fatorando x^{5}) obtemos:
2 - x - x^{5} = x^{5}\left(\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{4}} - 1\right).
Verificação rápida (para ficar tranquilo): x^{5}\cdot\frac{2}{x^{5}}=2, x^{5}\cdot\left(-\frac{1}{x^{4}}\right)=-x, x^{5}\cdot(-1)=-x^{5}. Tudo confere.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento dos termos dentro do parêntese quando x\to -\infty:
  • Para qualquer inteiro n>0 vale \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{n}}=0, porque o denominador cresce em magnitude e o quociente tende a zero. Em particular \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{2}{x^{5}}=0 e \displaystyle \lim_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{4}}=0.
  • Portanto
\lim_{x\to -\infty}\left(\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{4}} - 1\right) = 0 - 0 - 1 = -1.

Passo 5

Saber que o parêntese tende a -1 e que x^{5} tende a -\infty quando x\to -\infty permite concluir o comportamento do produto:
x^{5}\to -\infty,\qquad \left(\frac{2}{x^{5}} - \frac{1}{x^{4}} - 1\right)\to -1.
Produto: (- \infty)\cdot(-1)=+\infty. Assim a expressão 2-x-x^{5} tende a +\infty quando x\to -\infty.

Resposta

+\infty

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