Calcule
Passo 1
O enunciado pede calcular o valor do limite
Informações dadas:
- Numerador:
. Grau do polinômio: . Coeficiente dominante (de maior grau): . - Denominador:
. Grau do polinômio: . Coeficiente dominante: . - A variável
tende para (ou seja, valores negativos com módulo crescendo sem limite).
O que é pedido: determinar qual é o comportamento (valor finito ou
) do quociente quando
vai para
, e se for infinito, determinar o sinal.
Passo 2
Ideia-chave (explicação didática): em quocientes de polinômios, quando
os termos de maior grau “dominam” o comportamento da expressão — os termos de grau menor tornam-se desprezíveis em comparação. Três casos comuns:
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o quociente tende a
. - Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
- Se o grau do numerador for menor, o limite é
.
Aqui o grau do numerador (
) é maior que o do denominador (
), então o limite será infinito (positivo ou negativo). Precisamos agora determinar o sinal (positivo ou negativo infinito).
Passo 3
Método prático e fácil de aplicar (passo a passo):
dividir numerador e denominador pelo maior poder de presente no denominador (ou seja, por
). Isso deixa explícito o comportamento dominante em
e facilita ver o sinal.
dividir numerador e denominador pelo maior poder de
Faço a divisão termo a termo por
.
Passo 4
Dividindo por
obtemos:
(Expliquei passo a passo:
;
;
permanece; no denominador
;
;
permanece.)
Passo 5
Análise dos termos pequenos quando
:
- Para qualquer inteiro
, quando . Isso porque o módulo cresce sem limite, logo ; o sinal não importa aqui, o termo vai para . - Portanto, ao tomar o limite em cada parte:
- Assim o quociente comporta-se como
para muito negativo. Como , .
Mais formalmente: o numerador tende a
(porque
e os outros termos tendem a
); o denominador tende a
(um número finito e positivo). Quando uma função no numerador tende a
e o denominador tende a um número finito não nulo, o quociente tende a
(o sinal fica igual ao sinal do numerador para
suficientemente grande em módulo, já que o denominador fica próximo de
).
Passo 6
Conclusão final: o limite é
. Intuitivamente: o numerador cresce em módulo como
com coeficiente positivo
, o denominador cresce como
com coeficiente positivo
; o quociente cresce como
, e como
vai para
o produto
vai para
.