Calcule
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{6 x^{5}+x-1}{2 x^{4}-3 x+5}

Passo 1

O enunciado pede calcular o valor do limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{6x^{5}+x-1}{2x^{4}-3x+5}.
Informações dadas:
  • Numerador: 6x^{5}+x-1. Grau do polinômio: 5. Coeficiente dominante (de maior grau): 6.
  • Denominador: 2x^{4}-3x+5. Grau do polinômio: 4. Coeficiente dominante: 2.
  • A variável x tende para -\infty (ou seja, valores negativos com módulo crescendo sem limite).
O que é pedido: determinar qual é o comportamento (valor finito ou \pm\infty) do quociente quando x vai para -\infty, e se for infinito, determinar o sinal.

Passo 2

Ideia-chave (explicação didática): em quocientes de polinômios, quando x\to\pm\infty os termos de maior grau “dominam” o comportamento da expressão — os termos de grau menor tornam-se desprezíveis em comparação. Três casos comuns:
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o quociente tende a \pm\infty.
  • Se os graus forem iguais, o limite é a razão dos coeficientes líderes.
  • Se o grau do numerador for menor, o limite é 0.
Aqui o grau do numerador ( 5) é maior que o do denominador ( 4), então o limite será infinito (positivo ou negativo). Precisamos agora determinar o sinal (positivo ou negativo infinito).

Passo 3

Método prático e fácil de aplicar (passo a passo):
dividir numerador e denominador pelo maior poder de x presente no denominador (ou seja, por x^{4}). Isso deixa explícito o comportamento dominante em x\to-\infty e facilita ver o sinal.
Faço a divisão termo a termo por x^{4}.

Passo 4

Dividindo por x^{4} obtemos:
\frac{6x^{5}+x-1}{2x^{4}-3x+5} = \frac{6x + \dfrac{x}{x^{4}} - \dfrac{1}{x^{4}}}{2 - \dfrac{3x}{x^{4}} + \dfrac{5}{x^{4}}} = \frac{6x + \dfrac{1}{x^{3}} - \dfrac{1}{x^{4}}}{2 - \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{5}{x^{4}}}.
(Expliquei passo a passo: 6x^{5}/x^{4}=6x; x/x^{4}=1/x^{3}; -1/x^{4} permanece; no denominador 2x^{4}/x^{4}=2; -3x/x^{4}=-3/x^{3}; 5/x^{4} permanece.)

Passo 5

Análise dos termos pequenos quando x\to -\infty:
  • Para qualquer inteiro k>0, \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to -\infty. Isso porque o módulo |x|^{k} cresce sem limite, logo 1/|x|^{k}\to 0; o sinal não importa aqui, o termo vai para 0.
  • Portanto, ao tomar o limite em cada parte: 6x + \dfrac{1}{x^{3}} - \dfrac{1}{x^{4}} \sim 6x \quad\text{(quando \(x\to -\infty\))},
2 - \dfrac{3}{x^{3}} + \dfrac{5}{x^{4}} \to 2.
  • Assim o quociente comporta-se como \dfrac{6x}{2}=3x para x muito negativo. Como x\to -\infty, 3x\to -\infty.
Mais formalmente: o numerador tende a -\infty (porque 6x\to -\infty e os outros termos tendem a 0); o denominador tende a 2 (um número finito e positivo). Quando uma função no numerador tende a -\infty e o denominador tende a um número finito não nulo, o quociente tende a -\infty (o sinal fica igual ao sinal do numerador para x suficientemente grande em módulo, já que o denominador fica próximo de 2>0).

Passo 6

Conclusão final: o limite é -\infty. Intuitivamente: o numerador cresce em módulo como x^{5} com coeficiente positivo 6, o denominador cresce como x^{4} com coeficiente positivo 2; o quociente cresce como 3x, e como x vai para -\infty o produto 3x vai para -\infty.

Resposta

-\infty

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