Faça o que se pede:
Derive e determine o(s) ponto(s) em que a função
apresenta reta tangente vertical.
Derive e determine o(s) ponto(s) em que a função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede para achar onde a reta tangente é vertical. O conteúdo envolve derivar uma função produto com logaritmo e potência fracionária, identificar pontos em que a derivada tende a infinito e, assim, ocorre reta tangente vertical.
Passo 2
Antes de derivar, determinamos o domínio de
. Para
é preciso
. Para
(expoente
) é preciso
.
Logo, assumindo , temos
Logo, assumindo
Passo 3
Aplicamos a regra do produto. Definimos
Então
Logo
Passo 4
Colocamos
em forma fatorada para identificar singularidades:
Aqui o fator
tende a
quando
, desde que o colchete não seja zero.
Passo 5
Para ver se de fato há reta vertical em
, calculamos o limite do colchete quando
:
Se
(isto é,
), esse limite é um número finito e não nulo, fazendo com que
. Assim ocorre reta tangente vertical em
.
Passo 6
Concluímos:
- Se
, então em a derivada diverge e a reta tangente é vertical. - Se
, o colchete vale zero e não diverge; não há reta vertical.
Resposta
Para
, a função apresenta reta tangente vertical em
isto é, no ponto
Para
, não há reta tangente vertical.