(2,0) Faça o que se pede:
Derive e determine o(s) ponto(s) em que a função \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\ln (\boldsymbol{k} \boldsymbol{x}) \cdot(\boldsymbol{x}-\boldsymbol{k})^{1 / 4} apresenta reta tangente vertical.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln(kx)\,(x-k)^{1/4}
e pede para achar onde a reta tangente é vertical. O conteúdo envolve derivar uma função produto com logaritmo e potência fracionária, identificar pontos em que a derivada tende a infinito e, assim, ocorre reta tangente vertical.

Passo 2

Antes de derivar, determinamos o domínio de f. Para \ln(kx) é preciso kx>0. Para (x-k)^{1/4} (expoente 1/4) é preciso x-k\ge0.
Logo, assumindo k>0, temos
x\ge k>0.

Passo 3

Aplicamos a regra do produto. Definimos
u(x)=\ln(kx),\quad v(x)=(x-k)^{1/4}.
Então
u'(x)=\frac1x, \qquad v'(x)=\frac14\,(x-k)^{-3/4}.
Logo
f'(x) =u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x) =\frac{(x-k)^{1/4}}x +\ln(kx)\,\frac14\,(x-k)^{-3/4}.

Passo 4

Colocamos f'(x) em forma fatorada para identificar singularidades:
f'(x) =(x-k)^{-3/4}\Bigl[\frac{x-k}{x}+\frac14\,\ln(kx)\Bigr].
Aqui o fator (x-k)^{-3/4} tende a +\infty quando x\to k^+, desde que o colchete não seja zero.

Passo 5

Para ver se de fato há reta vertical em x=k, calculamos o limite do colchete quando x\to k^+:
\lim_{x\to k^+}\Bigl[\frac{x-k}{x}+\frac14\,\ln(kx)\Bigr] =0+\frac14\,\ln(k\cdot k) =\frac14\,\ln(k^2).
Se \ln(k^2)\neq0 (isto é, k\neq1), esse limite é um número finito e não nulo, fazendo com que f'(x)\to\pm\infty. Assim ocorre reta tangente vertical em x=k.

Passo 6

Concluímos:
  • Se k\neq1, então em x=k a derivada diverge e a reta tangente é vertical.
  • Se k=1, o colchete vale zero e f'(x) não diverge; não há reta vertical.

Resposta

Para k\neq1, a função apresenta reta tangente vertical em
x=k,
isto é, no ponto
\bigl(k,\,f(k)\bigr) =\bigl(k,\,\ln(k^2)\cdot0\bigr) =(k,0).
Para k=1, não há reta tangente vertical.

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